Να διατυπωθεί μία πρωτοβάθμια αξιωματική θεωρία πραγματικών συναρτήσεων πραγματικής μεταβλητής. Η γλώσσα της θεωρίας αυτής και το αξιωματικό της σύστημα θα πρέπει να επιλεχθούν έτσι ώστε:
να ορίζονται όλες οι έννοιες που πραγματεύεται το σχολικό εγχειρίδιο των Μαθηματικών Προσανατολισμού της Γ' Λυκείου να αποδεικνύονται όλα τα θεωρήματα και οι ιδιότητες που περιέχονται εκεί.Διευκρινίσεις:
#1. Στα Μαθηματικά Προσανατολισμού της Γ' Λυκείου χρησιμοποιούνται τρία είδη μεταβλητών:
Α) μεταβλητές για πραγματικούς αριθμούς
Β) μεταβλητές για σύνολα αριθμών
Γ) μεταβλητές για συναρτήσεις
Όταν λέμε πρωτοβάθμια θεωρία εννοούμε ότι πρέπει να έχουμε αποκλειστικά και μόνο ένα είδος μεταβλητής, ήτοι αναγκαστικά μόνο μεταβλητές για συναρτήσεις. Γλαφυρότερα, αυτό σημαίνει ότι βρισκόμαστε σε ένα σύμπαν όπου τα πάντα είναι πραγματικές συναρτήσεις πραγματικής μεταβλητής, ακόμη και οι πραγματικοί αριθμοί και τα σύνολα πραγματικών αριθμών.
#2. Μία από τις έννοιες που πραγματεύεται το σχολικό βιβλίο είναι το ολοκλήρωμα του Riemann. Δεν αναμένεται να δοθεί πρωτοβάθμιος ορισμός του ολοκληρώματος Riemann, αλλά ένας μερικός ορισμός μέσω ενός συμβόλου συνάρτησης/τελεστή και λίγων αξιωμάτων που θα καλύπτουν τις εντός του σχολικού βιβλίου ιδιότητες του ολοκληρώματος.
#3. Το πρόβλημα θεωρείται λυμένο όταν στο σύνολο των αξιωμάτων που θα προταθεί ως λύση, κάθε αξίωμα είναι ανεξάρτητο από όλα τα υπόλοιπα. Αυτό σημαίνει ότι μία πλήρης απάντηση περιλαμβάνει έλεγχο ανεξαρτησίας.
#4. Λέγοντας "αποδεικνύονται" εννοούμε να υπάρχει απόδειξη των ιδιοτήτων/θεωρημάτων αυτών από το προτεινόμενο αξιωματικό σύστημα υπό τη συνηθισμένη έννοια της πρωτοβάθμιας κατηγορηματικής λογικής.
ΠΗΓΗ ΕΜΠΝΕΥΣΗΣ
Ας θεωρήσουμε μία ιδανική οντότητα, τον ιδεατό μαθητή των οδηγιών διδασκαλίας του μαθήματος των Μαθηματικών Προσανατολισμού της Γ' Λυκείου (εφ' εξής Μαθητής).
Διδασκόμενος το κεφάλαιο των ορίων ο Μαθητής βρίσκει εαυτόν σε μία ιδιότυπη κατάσταση. Έρχεται εις κοινωνίαν με την έννοια του ορίου "ως εν εσόπτρω και εν αινίγματι" δηλαδή έμμεσα, μέσω των ιδιοτήτων της, χωρίς να μαθαίνει ποτέ αυστηρά τι είναι το όριο αφού δεν διδάσκεται τον ορισμό. Βέβαια ο ορισμός είναι εκεί, σε ένα πλαίσιο επισημασμένο με αστερίσκο προσβάσιμο από τον καθένα, αλλά όπως είπαμε αναφερόμαστε στον Μαθητή ο οποίος προορίζεται να ακολουθήσει ευλαβικά και απαρέγκλιτα τη βασιλική οδό της προβλεπόμενης ύλης κωφεύοντας εις τα έξωθεν αυτής κελεύσματα.
Ενίοτε αυτό φαίνεται απογοητευτικό και ανεπαρκές. Όμως θα εξηγήσουμε ότι η κατάσταση στην οποία διατελεί ο Μαθητής δεν είναι πολύ διαφορετική από την κατάσταση στην οποία βρίσκονται όλοι οι μελετητές των μαθηματικών.
Κατ' αρχάς το σύνολο των ιδιοτήτων του ορίου που αναφέρονται στο σχολικό εγχειρίδιο αποτελεί για τον Μαθητή έναν de facto μερικό αξιωματικό ορισμό του ορίου. Το τελευταίο προσεγγίζεται ως στοιχειώδες και μη οριζόμενο, προσδιοριζόμενο από τις προαναφερθείσες ιδιότητες στο βαθμό που αυτές μπορούν να το προσδιορίσουν (ΣΗΜΕΙΩΣΗ #1). Παρ' ότι στη συγκεκριμένη περίπτωση ο ορισμός αυτός επιβάλλεται τεχνητά (και ακούσια) από το αναλυτικό πρόγραμμα σπουδών, μερικές φορές τέτοιου είδους ορισμοί είναι ό,τι καλύτερο έχουμε όπως συμβαίνει για παράδειγμα με την έννοια του συνόλου.
Όλα τα μαθηματικά που υπάρχουν μπορούν να κωδικοποιηθούν χρησιμοποιώντας σύνολα (ZFC) και αυτό είναι συγκλονιστικό. Πρόκειται για μία διανοητική κατάκτηση του Homo Sapiens τη σημασία της οποίας δεν είναι εύκολο να μεταδώσει κανείς σε μη μαθηματικούς (με αποτέλεσμα η αγαλλίαση που νιώθει κανείς κατά την ενατένιση αυτού του επιτεύγματος να μετριάζεται από την αδυναμία του να το ευαγγελίσει ευρύτερα). Στις μέρες μας είναι τελείως συνηθισμένο να ορίζουμε δομές χρησιμοποιώντας την έννοια του συνόλου ελαφρά τη καρδία. Όμως αυτή η τόσο προσιτή και οικεία έννοια του συνόλου δεν έχει (πλήρη) ορισμό! Κανένας δεν μπορεί "να πει ακριβώς" τι εννοεί (μεταθεωρητικά) όταν αναφέρεται στα σύνολα. Ο κάθε μαθηματικός που τα χρησιμοποιεί, ως άλλος Μαθητής, έρχεται εις κοινωνίαν μετ' αυτών "ως εν εσόπτρω και εν αινίγματι" μέσα από τις όποιες ιδιότητες παράγονται από το αξιωματικό σύστημα της (σιωπηρά, ακουσίως ή εκουσίως θεωρούμενης) υποκείμενης σύνολοθεωρίας (πρακτικά της ZFC) το οποίο χρηματίζει τον ρόλο του "μερικού ορισμού" των συνόλων.
Ένας τέτοιος "ορισμός" στην πράξη παρέχει μία πολύ επαρκή απάντηση στο τι είναι τα σύνολα. Πράγματι, εκτός του πεδίου της ίδιας της θεωρίας συνόλων δεν είναι απλό να φτάσουμε στο σημείο αυτή η απάντηση να μην επαρκεί. Όχι όμως ότι δεν γίνεται. Για παράδειγμα όταν αρχίσει κανείς να ρωτά αν υπάρχουν μη μετρήσιμα (κατά Lebesgue) σύνολα πραγματικών αριθμών, τότε για κάποιον που ξεκινά με βάση τη θεωρία συνόλων ZF δημιουργείται θέμα. Η απάντηση σε εκείνον που θα μας απευθύνει αυτήν την ερώτηση είναι "εξαρτάται τι εννοεί κανείς λέγοντας σύνολα. Υπάρχουν διάφορες προσεγγίσεις για το τι είναι τα σύνολα καθεμία από τις οποίες ενδέχεται να αντιλαμβάνεται το ζήτημα διαφορετικά."
Η έννοια του συνόλου κατά ZF δεν είναι επαρκώς προσδιορισμένη για να απαντήσουμε σε αυτό το ερώτημα. Αν όμως κανείς την προσδιορίσει ειδικότερα εισάγοντας καινούργια αξιώματα, τότε γι' αυτήν την ειδικότερη έννοια συνόλου ενδεχομένως να υπάρχει απάντηση, ενδεχομένως όχι, αλλά ακόμη και αν υπάρχει, αυτή μπορεί να είναι είτε καταφατική είτε αρνητική ανάλογα με την επιλογή αυτών των αξιωμάτων.
Αυτό είναι κάτι που αληθεύει γενικότερα. Είναι αρκετά σύνηθες οι αναδρομικά αξιωματικοποιήσιμες (recursively axiomatizable) θεωρίες (αξιωματικοί ορισμοί με απλά λόγια) να μην είναι πλήρεις αν και υπάρχουν εξαιρέσεις όπως για παράδειγμα η θεωρία RCF των πραγματικών κλειστών σωμάτων. Ειδικότερα όσον αφορά την ερώτηση "τι είναι σύνολο;", οι συνηθισμένες και εν γένει αποδεκτές αξιωματικές θεωρίες συνόλων (ZF, ZFC) απαντούν στο ερώτημα αυτό πολύ ελάχιστα. Η δε απόσταση της απάντησής τους από την πληρότητα είναι αγεφύρωτη. Δεν πρόκειται για κάποιο προσωρινό κενό γνώσης που η μελλοντική έρευνα θα καλύψει με κάποιον τρόπο. Τα θεωρήματα μη πληρότητας του Gödel θέτουν ουσιώδες εμπόδιο καθιστώντας αδύνατη τη διατύπωση ενός πλήρους αξιωματικού ορισμού των συνόλων δηλαδή μιας πλήρους, αναδρομικά αξιωματικοποιήσιμης θεωρίας συνόλων που να επεκτείνει την ZF.
Αξίζει όμως να σημειωθεί ότι πλήρεις θεωρίες συνόλων υπάρχουν. Αλλά αυτές έχουν μικρή αξία διότι είναι:
μη χαρακτηριστικές, αφ' ού δεν υπάρχει μια που να ξεχωρίζει αδιαμφισβήτητα από τις υπόλοιπες όπως για παράδειγμα συμβαίνει με τους αριθμούς. Το καθιερωμένο μοντέλο 
των φυσικών αριθμών μας εξασφαλίζει μία κανονική πλήρη πρωτοβάθμια θεωρία αριθμών. Πρόκειται για την μη αναδρομικά απαριθμήσιμη (recursively enumerable) θεωρία 
, δηλαδή το σύνολο των προτάσεων της γλώσσας της πρωτοβάθμιας θεωρίας αριθμών που αληθεύουν στο καθιερωμένο μοντέλο. Ας ληφθεί υπ' όψιν ότι για τα σύνολα δεν υπάρχει καθιερωμένο μοντέλο, δεν ξεχωρίζουμε δηλαδή μία συλλογή που να αποτελεί το κανονικό σύμπαν των συνόλων. άφατες, γιατί σε αντίθεση με το αναδρομικό (recursive) σύστημα αξιωμάτων που μας προσφέρει η ZFC, αυτές μας προσφέρουν το μη κωδικοποιήσιμο σε τύπο της γλώσσας της θεωρίας συνόλων άμορφο συνονθύλευμα των αληθειών τους (Tarski's undefinability theorem ) βωβές, γιατί δεν μπορούν να "απαγγείλουν" τη σύσταση του συνόλου των αληθειών τους. Αντίθετα απ' ό,τι η θεωρία ZFC, μία τέτοια θεωρία δεν θα είναι αναδρομικά απαριθμήσιμη πράγμα που θα καθιστούσε εφικτό να διατάξουμε σε μία ακολουθία τις προτάσεις που αποδεικνύει.Συνεπώς η ιστορική συγκυρία του τρέχοντος αναλυτικού προγράμματος σπουδών της Γ' Λυκείου, αναφορικά με την έννοια του ορίου, αποτελεί συμπτωματικά μία μικρογραφία της προαναφερθείσας μαθηματικής πραγματικότητας. Το ζητούμενο της παρούσας ανάρτησης γενικεύει θέτοντας ως ζητούμενο μια πρωτοβάθμια αξιωματική προσέγγιση ενός ευρύτερου αλλά μικρού μέρους της θεωρίας των πραγματικών συναρτήσεων πραγματικής μεταβλητής.
ΣΗΜΕΙΩΣΗ #1
Οι αναρτήσεις
https://mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=61&t=76123
και
https://mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=61&t=76194
εκφράζουν ότι ο de facto μερικός ορισμός του ορίου που παρέχουν τα εντός ύλης μαθηματικά της Γ' Λυκείου είναι ισοδύναμος με τον συνηθισμένο εκτός ύλης ορισμό του ορίου με τα
ΣΗΜΕΙΩΣΗ #2
Με την αξιωματική μέθοδο έρχεται κανείς σε επαφή στην πρώιμη λυκειακή ηλικία (κυρίως) στο μάθημα της Γεωμετρίας. Στο πλαίσιο αυτής της μεθόδου θεωρούνται μερικές πρωταρχικές έννοιες οι οποίες λέμε πως δεν ορίζονται (π.χ. σημείο). Κατόπιν δεχόμαστε γι' αυτές κάποιες ιδιότητες χωρίς απόδειξη (αξιώματα).
Όταν λέμε δεν ορίζονται εννοούμε εντός του αξιωματικού συστήματος. Αυτό σημαίνει ότι είτε πρόκειται για υποκείμενα (ατομικές μεταβλητές) των προτάσεων της γλώσσας της εκάστοτε θεωρίας (π.χ. τα σημεία στη γεωμετρία) είτε για τα πρωταρχικά της κατηγορήματα (primitive predicates π.χ. η ιδιότητα "τα σημεία
είναι συνευθειακά" στην πρωτοβάθμια γεωμετρία του Tarski). Ωστόσο δεν είναι ακριβές να λέμε ότι οι στοιχειώδεις έννοιες δεν έχουν ορισμό. Το ίδιο το αξιωματικό σύστημα αποτελεί τον εξωτερικό (μεταμαθηματικό) ορισμό τους (πλήρη ή μη). Αυτό είναι πολύ βασικό προκειμένου να λυθεί η σύγχυση που νιώθει εκείνος ο φίλος της λεπτομέρειας που ρωτά "πώς δεχόμαστε αβασάνιστα τα αξιώματα της γεωμετρίας; Από πού πηγάζει η βεβαιότητά μας ότι από δυο σημεία, όντως και πανταχού, δίχως εξαίρεση διέρχεται μία ευθεία;" Πρέπει πρώτα να ξεχωρίσουμε μεταξύ των μοτίβων που παρατηρούμε και των εννοιών που χρησιμοποιούνται για την περιγραφή τους. Το μοτίβο είναι εξωτερικό, μπορεί να το βλέπουμε ή να νομίζουμε ότι το βλέπουμε. Παραδείγματα είναι το κατά φαντασίαν επίπεδο που θεωρούμε σκεπτόμενοι έναν σχολικό πίνακα να επεκτείνεται προς όλες τις κατευθύνσεις ή η επίσης ανύπαρκτη/φαινομενική απολυτότητα του μεγέθους που αποκαλούμε χρόνο. Παρ' όλα αυτά οι προσεγγίζουσες το μοτίβο έννοιες είναι εντελώς δικές μας. Η γένεση τους λαμβάνει χώρα κατά την προφορά των αξιωμάτων που τις χαρακτηρίζουν. Εφ' όσον αυτά είναι συνεπή, αποτελούν Λόγο, Ζώντα και Ενεργώντα. Τα μοτίβα του πραγματικού κόσμου, υπαρκτά, απλώς φαινομενικά ή κατά φαντασίαν (πλην συνεπή) μπορεί να μας εμπνέουν στη διατύπωση αξιωμάτων και δεν υπάρχει τίποτα μεμπτό σε αυτή την διαδικασία. Όμως η πραγμάτευση της ακρίβειας, ή μη, της προσέγγισης ενός μοτίβου του παρατηρήσιμου κόσμου με ένα σύνολο αξιωμάτων δεν είναι αντικείμενο των μαθηματικών, αλλά της φυσικής. Τα μαθηματικά ξεκινούν άμα τη διατυπώσει των αξιωμάτων και έχουν ως αντικείμενο τους το συνδυασμό τους (και τους κανόνες συνδυασμού τους) για την παραγωγή συμπερασμάτων. Κοντολογίς από δύο σημεία διέρχεται μία ευθεία γιατί έτσι (sic) το δεχόμαστε (γιατί αιτηθήκαμε αυτού) στο θεωρούμενο αξιωματικό σύστημα.
Η απολογία για την επιλογή ενός αξιωματικού συστήματος δεν είναι πάντα αντικείμενο των μαθηματικών άσχετα αν αυτή μπορεί να δομείται με μαθηματικά επιχειρήματα. Αν ένα σύστημα δεν ικανοποιεί, μπορεί κανείς να συντάξει ένα άλλο το οποίο θα αιτείται κάτι διαφορετικό. Άλλωστε αυτό ακριβώς γίνεται όταν για παράδειγμα μεταβαίνουμε απ' τη μελέτη του επιπέδου στη μελέτη της επιφάνειας μιας σφαίρας. Προς τούτο θα υιοθετήσουμε ένα άλλο αξιωματικό σύστημα εγκαταλείποντας μεταξύ άλλων το ευκλείδειο αίτημα. Αυτό δεν θα το κάνουμε επειδή το τελευταίο έχει εγγενείς ατέλειες αλλά επειδή αναγνωρίζουμε χωρίς αμφιβολίες ότι δεν ταιριάζει με το μοτίβο που προσπαθούμε να περιγράψουμε τη δεδομένη στιγμή. Πέραν τούτου είναι εύλογο να επιθυμούμε ένα αξιωματικό σύστημα για τη σφαίρα να αποδεικνύει, ήτοι να παράγει λογικά, την άρνηση του ευκλειδείου αιτήματος.
Το γεγονός ότι κάποια μαθηματικά μοντέλα μπορεί να είναι (εν μέρει ή παταγωδώς) άστοχα ως προς την ακρίβεια περιγραφής της φυσικής πραγματικότητας έχει ένα θετικό: ότι η πραγμάτευση τους δεν δεσμεύεται από αυτήν (τη φυσική πραγματικότητα) γεγονός που επιτρέπει στα μαθηματικά να την υπερβαίνουν. Έτσι μπορούμε για παράδειγμα να μελετήσουμε γεωμετρία σε χώρους
(ή και απείρων) διαστάσεων, σε πείσμα του γεγονότος ότι μια τέτοια γεωμετρία δεν έχει κάποια προφανή σχέση με τον εξ ημών προσλαμβανόμενο εξωτερικό τρισδιάστατο φυσικό χώρο, ή να φανταστούμε υποθετικά σύμπαντα με τοπολογίες που δεν υπάρχουν εκεί έξω π.χ. ο τριδιάστατος τόρος 
στον οποίο ενώ είναι σχετικά εύκολο να φανταστούμε εαυτούς, εντούτοις κάποια οφθαλμοφανή σχέση με την πραγματικότητα δεν έχει.