Περιορισμοί

#21

Καλημέρα σε όλους !

Διάβασα όλα τα μηνύματα και κρατάω πάνω από όλα το πόσο όμορφα πρέπει να νοιώθουμε που έχουμε τη δυνατότητα να ανταλάσσουμε σκέψεις !
Λοιπόν, όλες οι απόψεις είναι σωστές. Αυτό δεν το συζητάμε ! Μένει το ερώτημα : ποιος είναι άραγε ο πιο ενδεδειγμένος τρόπος για τη λύση αυτών των '' γνήσιων '' ανισώσεων ;
Η άποψή μου είναι ο μαθητής είναι καλύτερα να γνωρίζει και να ακολουθεί τον γενικό τρόπο επίλυσης ανισώσεων: θέτω περιορισμούς κλπ.Η ανίσωση αποτελείται από όρους(εδώ από κλάσμα) και ο μαθητής έχει συνηθίσει στην γενική αρχή ότι τα κλάσματα ,για να ορίζονται , χρειάζονται περιορισμό, ανεξάρτητα αν πρόκειται για εξίσωση , συνάρτηση ή ανίσωση.Έτσι είναι εύκολο να δεχθεί ως ''φυσιολογική '' τη σύσταση του καθηγητή του : '' πρώτα θα βάζετε περιορισμούς κλπ '' .Αν ξέρει βέβαια και την παρατήρηση που έκανε ο συνάδελφος στην τάξη(ο περιορισμός δεν χρειάζεται) ακόμα καλύτερα.

Το ξαναλέω : το βιβλίο καλύπτει θεωρητικά το γεγονός ότι στη '' γνήσια διάταξη'' δεν χρειάζεται περιορισμός. Αλλά και το σχολικό βιβλίο να μην το έλεγε, πάλι ο μαθητής που θα το έγραφε χωρίς περιορισμό δεν θα έπρεπε να έχει απώλεια μονάδων(πχ σε τεστ), διότι η ισοδυναμία από κλάσμα σε γινόμενο πηγάζει άμμεσα από την έννοια του προσήμου(το επεσήμαναν αναλυτικά οι συνάδελφοι).

Και μένα μου έχει έρθει στα χείλη πολλές φορές κατά τη διδασκαλία να την πω αυτή την παρατήρηση - διάκριση, αλλά σκόπιμα δεν την είπα, διότι :

αν σε γενικούς κανόνες κάνεις εξαιρέσεις, τότε ο μαθητής συγκρατεί την εξαίρεση και την κάνει κανόνα !!!

Η επιλογή λοιπόν του τρόπου παρουσίασης στο θέμα που συζητάμε δεν έχει να κάνει με την ορθότητα του τρόπου, αλλά με την διδακτική επιτυχία και τους στόχους του διδάσκοντα.Από αυτή τη σκοπιά, θεωρώ πως ο μέσος μαθητής δεν κερδίζει τίποτα με το διαχωρισμό των ανισώσεων σε '' γνήσιες'' που δε θέλουν περιορισμό για τον παρονομαστή και σε ''μη γνήσιες '' που θέλουν.

Μπάμπης

Α.Κυριακόπουλος · #22

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:Λοιπόν, όλες οι απόψεις είναι σωστές. Αυτό δεν το συζητάμε ! Μένει το ερώτημα : ποιος είναι άραγε ο πιο ενδεδειγμένος τρόπος για τη λύση αυτών των '' γνήσιων '' ανισώσεων ;

Αγαπητέ Μπάμπη. Η προσπάθειά σου να ευχαριστήσεις όλους είναι ευγενική ,αλλά, θα μου επιτρέψεις να σου πω ,όχι και εποικοδομητική. Ο φίλος μας ο Κώστας ο Σερίφης έχει πει:
« Πολλά πράγματα δεν έμαθα στη ζωή μου, γιατί οι φίλοι μου δεν μου έδειχναν τα λάθη μου, για να μην με πληγώσουν».
Ανεξάρτητα του τι γράφει το σχολικό βιβλίο, όταν λύνουμε μια ανίσωση (ή μια εξίσωση) το πρώτο πράγμα που πρέπει να κάνουμε είναι να βρούμε το σύνολο ορισμού της. Δηλαδή, το σύνολο των πραγματικών αριθμών x, για τους οποίους και τα δύο μέλη της έχουν νόημα πραγματικού αριθμού. Ο λόγος είναι ,όχι μόνο για να ξέρουμε για ποιες τιμές του x έχουν νόημα τα μέλη της, αλλά και για να ξέρουμε για ποιες τιμές του x ισχύουν οι ισοδυναμίες που γράφουμε. Κάθε φορά που γράφουμε μια ισοδυναμία μεταξύ δύο ανισώσεων (ή δύο εξισώσεων), εννοούμε ότι αυτή ισχύει για κάθε x από το σύνολο ορισμού της. Aν δεν το έχουμε βρει, ουσιαστικά, δεν έχουν νόημα και οι ισοδυναμίες που γράφουμε, γιατί δεν θα ξέρουμε για ποια x μιλάμε.
Υπενθυμίζω ότι μια ανίσωση ( όπως και μια εξίσωση) είναι ένας προτασιακός τύπος. Όταν λέμε ότι θα λύσουμε μια ανίσωση (ή μια εξίσωση) εννοούμε ότι θα βρούμε το σύνολο αλήθειας του.
Σχόλιο. Πριν εισαχθούν τα σύνολα στα μαθηματικά χρησιμοποιούσαν τη λέξη «πεδίο» αντί της λέξης « σύνολο». Δυστυχώς, μερικοί όπως και το σχολικό βιβλίο, εξακολουθούν να χρησιμοποιούν τη λέξη «πεδίο», αντί της λέξης « σύνολο»( εσάς θα σας άρεσε να σας φωνάζουν με το παρατσούκλι σας; - χιούμορ).

#23

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:Καλημέρα σε όλους !

................... Λοιπόν, όλες οι απόψεις είναι σωστές. Αυτό δεν το συζητάμε ! Μένει το ερώτημα : ποιος είναι άραγε ο πιο ενδεδειγμένος τρόπος για τη λύση αυτών των '' γνήσιων '' ανισώσεων ;
...................................

Μπάμπης

Πρέπει να ευχαριστήσω το φίλο Αντώνη Κυριακόπουλο που μου υπέδειξε ένα σημαντικό παρόραμμα: η τελευταία λέξη του κειμένου είναι '' ανισώσεων '' και όχι '' ανισοτήτων ''. Βλέπετε , σε τόσες μεριές έγραψα ''ανίσωσης '' αλλά ο ... δαίμονας της οθόνης '' έκανε το θαύμα του και έγραψα και τη λέξη '' ανισότητα '' , που φυσικά όλοι καταλαβαίνετε ότι δεν έχει καμία σχέση με το θέμα που συζητάμε . Αυτά παθαίνει όποιος γράφει ανάμεσα σε δυο διαλείμματα στο σχολείο ένα κείμενο και όταν το στέλνει δεν βρίσκει ...τρίτο διαλειμμα για να το ρίξει μια ματιά !

Καλό είναι σε ό,τι μένει γραμμένο, να μην υπάρχουν ούτε καν τυπογραφικά λάθη, πόσο μάλλον όροι που δεν ταιριάζουν με το περιεχόμενο του κειμένου !

Για αυτό όμως υπάρχουν και οι φίλοι : για τα υποδεικνύουν !

Αντώνη , ευχαριστώ πολύ !

Μπάμπης

ΣΧΟΛΙΟ

Οι παρατηρήσεις στο πρώτο μήνυμα αφορούσαν την ερώτηση του μαθητή και τι προκύπτει με βάση το σχολικό βιβλίο . Μάλιστα, σκέφτηκα μια στιγμή να μπω στο ζήτημα των προτασιακών τύπων , σκεφτόμενος τον Αντώνη , αλλά το θεώρησα περιττό, μια και δεν ήταν διάλογος μεταξύ μόνο μαθηματικών , αλλά κυρίως μεταξύ μαθηματικών με ένα μαθητή. Ο Αντώνης , καλά έκανε και φώτισε το θέμα από την πλευρά της λογικής, αλλά η μαθηματική λογική και οι βασικοί κανόνες της είναι δυστυχώς τελείως έξω από το πνεύμα των σχολικών βιβλίων , οπότε οι μαθητές δεν κατανοούν τα επιχειρήματά μας.
Μακάρι σε ένα νέο βιβλίο της Α΄Λυκείου να μπουν ξανά τα στοιχειώδη από τη μαθηματική λογική(χωρίς υπερβολές!) , ώστε οι μαθητές να γνωρίζουν με πιο αυστηρό τρόπο ορισμένες μαθηματικές ενέργειες , αλλά κυρίως να τους γλυτώνουν από τις παγίδες της σκέψης , τις αντιφάσεις και τις λάθος ''αποδείξεις ''.

Ελπίζω , στο συνέδριο της ΕΜΕ στη Χαλκίδα το 2010 να έχουμε κάποιο θέμα σχετικό με τη μαθηματική λογική στο Σχολείο !
Για την ώρα, πιο κατάλληλο για αυτή τη διάλεξη από τον Αντώνη Κυριακόπουλο, δεν βλέπω , αν και υποπτεύομαι ότι θα υπάρχουν και άλλοι που δεν γνωρίζω.

p@g · #24

Θα ήθελα να σας ευχαριστήσω όλους θερμά για τις απόψεις που παραθέσατε(ή που ακόμα παραθέτετε) και για το χρόνο που αφιερώσατε.Είναι γεγονός πως σε αυτήν την επιστήμη μία μικρή αλλαγή σε κάποια λέξη ή η αποφυγή της μπορεί να προκαλέσει παρερμηνεία και ασάφεια.
Μια φορά μου είπε ο πατέρας μου:''Μαθηματικός είναι αυτός που όταν τον ρωτάνε πόσο κάνει ένα και ένα αυτός απαντάει:'Αυτό το ''και'' πρέπει να εξεταστεί πολύ καλά.''

Βασίλης Καλαμάτας · #25

Καλησπέρα σε όλους...
Αντιλαμβάνομαι και σέβομαι την Μαθηματική ορθότητα αυτών που γράφηκαν, αλλά διατυπώνω την εξής απορία και παρακαλώ όποιον συνάδελφο έχει την πολυτέλεια του χρόνου, να καταθέσει την άποψη του.

Σε ένα μαθητή τι θα προτείνατε για να λύσει την εξίσωση $\sqrt{x-1-\sqrt{x}}=3-\sqrt{x}$

Να βρει πρώτα το σύνολο ορισμού της και στη συνέχεια να τη λύσει ή να τη λύσει και να εξετάσει στην αρχική ξεχωριστά αν κάθε μια απο τις τιμές που βρήκε την ικανοποιούν (οπότε είναι δεκτή) ή όχι (οπότε απορρίπτεται)?
Ο σκοπός του μυνήματος δεν είναι να υπερασπίσω την άποψη που έγραψα εγώ ή κάποιοι άλλοι συνάδελφοι, αλλά να δούμε και τη διδακτική πλευρά σε ορισμένες περιπτώσεις με τρόπο Μαθηματικά ορθό, ο οποίος, κατά τη γνώμη μου, δεν κατασκευάζει "βολικά" Μαθηματικά, αλλά διευκολύνει το μαθητή στην προσέγγιση κάποιων θεμάτων..

Φιλικά και με κάθε σεβασμό....

Α.Κυριακόπουλος · #26

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:Οι παρατηρήσεις στο πρώτο μήνυμα αφορούσαν την ερώτηση του μαθητή και τι προκύπτει με βάση το σχολικό βιβλίο . Μάλιστα, σκέφτηκα μια στιγμή να μπω στο ζήτημα των προτασιακών τύπων , σκεφτόμενος τον Αντώνη , αλλά το θεώρησα περιττό, μια και δεν ήταν διάλογος μεταξύ μόνο μαθηματικών , αλλά κυρίως μεταξύ μαθηματικών με ένα μαθητή. Ο Αντώνης , καλά έκανε και φώτισε το θέμα από την πλευρά της λογικής, αλλά η μαθηματική λογική και οι βασικοί κανόνες της είναι δυστυχώς τελείως έξω από το πνεύμα των σχολικών βιβλίων , οπότε οι μαθητές δεν κατανοούν τα επιχειρήματά μας.

Αγαπητέ Μπάμπη. Η Μαθηματική Λογική και οι βασικοί κανόνες της είναι η βάση όλων των μαθηματικών και επομένως δεν μπορεί να είναι έξω από το πνεύμα κανενός μαθηματικού βιβλίου και πολύ περισσότερο έξω από τα σχολικά βιβλία. Διαφορετικά θα γίνονται λάθη σαν αυτά που συναντάμε .
Όταν αυτός που διδάσκει μαθηματικά έχει στο μυαλό του τη Μαθηματική Λογική, θα «περάσει» στους μαθητές του τους βασικούς κανόνες, χωρίς να φαίνεται ότι κάνει Λογική, αφού σε κάθε βήμα στα μαθηματικά εφαρμόζουμε τη Μαθηματική Λογική, είτε το καταλαβαίνουμε, είτε όχι . Δεν χρειάζεται να λέμε στους μαθητές ότι θα τους κάνουμε Μαθηματική Λογική. Απλά να την εφαρμόζουμε και να είσαι βέβαιος ότι εκείνοι θα καταλάβουν. Για παράδειγμα, δεν είναι ανάγκη να πούμε στους μαθητές ότι μια ανίσωση είναι ένας προτασιακός τύπος. Αν εμείς την αντιμετωπίζουμε σαν τέτοια οι μαθητές θα καταλάβουν σωστά την έννοια της ανίσωσης. Αυτός είναι ο λόγος που από χρόνια «φωνάζω»: «Κάνετε στα μαθηματικά τμήματα των Πανεπιστημίων το μάθημα της Μαθηματικής Λογικής υποχρεωτικό. Όχι όμως να τους κάνετε Λογική για την Λογική . Αλλά Λογική για την κατανόηση και την σωστή αντιμετώπιση των Μαθηματικών».
Παλαιότερα το σχολικό βιβλίο της Α΄ τάξης του Λυκείου στο πρώτο κεφάλαιο είχε μερικά στοιχεία Μαθηματικής Λογικής. Όμως στα επόμενα κεφάλαια δεν την εφάρμοζαν ( φαίνεται ότι αυτοί που είχαν γράψει τα επόμενα κεφάλαια δεν είχαν διαβάσει το πρώτο κεφάλαιο που αναφερόταν στη Μαθηματική Λογική). Έτσι, οι καθηγητές την αντιμετώπιζαν σαν ένα κεφάλαιο, όπως όλα τα άλλα. Δηλαδή, το διδάξαμε, το... ξεχάσαμε. Το αποτέλεσμα ήταν να «περάσει» η άποψη στους καθηγητές και μαθητές ότι η Μαθηματική Λογική δεν χρειάζεται στα μαθηματικά, αφού στη συνέχεια δεν την χρησιμοποιούμε.
« Ο καλύτερος τρόπος για να βλάψεις μια ιδέα είναι να την υπερασπίζεσαι
με λανθασμένα επιχειρήματα».
Αυτό ακριβώς έγινε με εκείνο το βιβλίο της Α΄ τάξης του Λυκείου, σχετικά με τη Μαθηματική Λογική.

k-ser · #27

vasilis kalamatas έγραψε: Σε ένα μαθητή τι θα προτείνατε για να λύσει την εξίσωση $\sqrt{x-1-\sqrt{x}}=3-\sqrt{x}$

Να βρει πρώτα το σύνολο ορισμού της και στη συνέχεια να τη λύσει ή να τη λύσει και να εξετάσει στην αρχική ξεχωριστά αν κάθε μια απο τις τιμές που βρήκε την ικανοποιούν (οπότε είναι δεκτή) ή όχι (οπότε απορρίπτεται)?

Βασίλη, καλησπέρα.
Μπορούμε να λύσουμε την παραπάνω εξίσωση και όχι μόνο με τους εξής τρόπους:
1. Κάνουμε την εξίσωση ισοδύναμη, (διαδοχικές ισοδυναμίες), με κάποια άλλη εξίσωση για την οποία βρίσκουμε εύκολα τη λύση. Αυτό απαιτεί τη λήψη όλων των περιορισμών, για να είναι εφικτές οι ισοδυναμίες.
2. Υποθέτουμε ότι o αριθμός x είναι λύση της εξίσωσης και συμπεραίνουμε, χωρίς ισοδυναμία, τις τιμές που μπορεί να έχει ο αριθμός x. Κατόπιν θα πρέπει να εξετάσουμε το αντίστροφο: Ποιες από τις τιμές του x επαληθεύουν την δοσμένη εξίσωση.

Στο δεύτερο τρόπο δεν είναι σωστό να πούμε: "λύνω την εξίσωση και μετά εξετάζω αν η λύση που βρήκα επαληθεύει την εξίσωση"!!.
Ο μαθητής μας θα αναρωτηθεί: Μα αφού έλυσα την εξίσωση γιατί αυτή η λύση δεν επαληθεύει την αρχική;;

Ο Αντώνης έχει "μαθηματικά" δίκιο για την αναγκαιότητα να διδαχθούν, όχι οι μαθητές μας, μα
οι καθηγητές τους, οι συγγραφείς των βιβλίων - και γιατί όχι και οι πολιτικοί μας, (αστειεύομαι βέβαια) -
την μαθηματική λογική.
Και γράφει πολύ σωστά: Να διδαχθούμε την μαθηματική λογική, όχι σαν ένα ξεχωριστό αντικείμενο των Μαθηματικών, μα απόλυτα συνυφασμένη με την πράξη των Μαθηματικών: Να μπορούμε να διατυπώνουμε σωστά έναν ορισμό, μια μαθηματική πρόταση, μια άσκηση, ένα πρόβλημα - και βέβαια τη λύση ενός προβλήματος.
Και πρέπει να παλέψουμε για αυτό περισσότερο από οποιαδήποτε άλλη γνώση.
Διαφορετικά, αυτό που θα διδάξουμε στους μαθητές μας, δυστυχώς, δεν θα είναι Μαθηματικά.

Φιλικά

Βασίλης Καλαμάτας · #28

Κώστα καλησπέρα....
Έχεις δίκιο για την πιο αυστηρή διατύπωση που χρησιμοποιείς στις εναλλακτικές που έδωσα, όπως επίσης έχεις δίκιο για τη μαθηματική λογική....
Σε παρακαλώ πολύ όμως να μου πεις πως εσύ θα τη δίδασκες στην πράξη...

k-ser · #29

... κάτι που δεν ανέφερα προηγουμένως:
Ο Αντώνης Κυριακόπουλος έχει γράψει μια καταπληκτική εργασία, που παρουσίασε σε κάποιο Επιμορφωτικό Σεμινάριο, το οποίο διοργάνωσε το Παράρτημα της Πάτρας με θέμα: " Μέθοδοι απόδειξης και εύρεσης στα Μαθηματικά - Επισήμανση λαθών που μπορεί να γίνουν σε μία λύση".
Το θέμα είναι σχετικό με το ζήτημα που συζητήθηκε.
Μου υποσχέθηκε ότι θα "προσφέρει" (και) στους συναδέλφους του mathematica.gr την, πολύ χρήσιμη για όλους μας, εργασία του.

Αντώνη... δεν το ξέχασα!

k-ser · #30

vasilis kalamatas έγραψε:Κώστα καλησπέρα....
Έχεις δίκιο για την πιο αυστηρή διατύπωση που χρησιμοποιείς στις εναλλακτικές που έδωσα, όπως επίσης έχεις δίκιο για τη μαθηματική λογική....
Σε παρακαλώ πολύ όμως να μου πεις πως εσύ θα τη δίδασκες στην πράξη...

Βασίλη, ...δεν το συζητώ: με τον δεύτερο τρόπο. Θα πρέπει όμως, συγχρόνως, να κάνουμε κατανοητό στους μαθητές μας την τεχνική επίλυσης της εξίσωσης με τον τρόπο αυτό
και για αυτόν ακριβώς το λόγο επιμένω στην "αυστηρή διατύπωση".

Καλό βράδυ.

Α.Κυριακόπουλος · #31

vasilis kalamatas έγραψε:Σε ένα μαθητή τι θα προτείνατε για να λύσει την εξίσωση $\sqrt{x-1-\sqrt{x}}=3-\sqrt{x}$

Να βρει πρώτα το σύνολο ορισμού της και στη συνέχεια να τη λύσει ή να τη λύσει και να εξετάσει στην αρχική ξεχωριστά αν κάθε μια απο τις τιμές που βρήκε την ικανοποιούν (οπότε είναι δεκτή) ή όχι (οπότε απορρίπτεται)?

Αγαπητέ Βασίλη ( θα μου επιτρέψεις τον ενικό και την οικειότητα).
Πώς θα την λύση αν δεν βρει πρώτα το σύνολο ορισμού; Οι ισοδυναμίες που θα γράψει για ποια x θα ισχύουν;
Λύση. Ονομάζομαι (1) την δοσμένη εξίσωση. Το σύνολο ορισμού της είναι:
$A = \left\{ {x \in R|x \ge o{\rm{ }}\kappa \alpha \iota {\rm{ x - 1 - }}\sqrt x \ge 0} \right\}$ .
Για κάθε $x \in A$ , έχουμε:
$(1) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3 - \sqrt x \ge 0 \\ x - 1 - \sqrt x = {\left( {3 - \sqrt x } \right)^2} \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \sqrt x \le 3 \\ x - 1 - \sqrt x = 9 - 6\sqrt x + x \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \le 9 \\ \sqrt x = 2 \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \le 9 \\ x = 4 \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow x = 4.$
Η λύση x=4, όπως βρίσκουμε εύκολα, ανήκει στο σύνολο A και άρα είναι δεκτή. Επομένως η δοσμένη εξίσωση έχει τη μοναδική ρίζα x=4.
Σχόλιο1. Αν δεν λέγαμε ποιο είναι το σύνολο ορισμού A της εξίσωσης, για πoια x θα ισχύουν οι ισοδυναμίες που γράψαμε;
Σχόλιο 2. Αν μας είναι χρήσιμο, το σύνολο ορισμού Α το βάζουμε υπό μορφή διαστήματος ή ενώσεως διαστημάτων του R. Προς τούτο, θα πρέπει να λύσουμε το σύστημα:

$\left\{ \begin{array}{l} x \ge 0 \\ x - 1 - \sqrt x \ge 0 \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow ... \Leftrightarrow x \ge \frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}$ .
Οπότε $A = \left[ {\frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}, + \infty } \right)$ .

#32

Αντώνη, νομίζω πως δεν υπάρχει πρόβλημα με την ακόλουθη λύση:

$\sqrt{x-1-\sqrt{x}} = 3 - \sqrt{x} \\ \Rightarrow x - 1 - \sqrt{x} = 9 - 6\sqrt{x} + x \\ \Rightarrow 5\sqrt{x} = 10 \\ \Rightarrow x = 4.$

Για x = 4

, $\sqrt{x-1-\sqrt{x}} = 1 = 3-\sqrt{x}$ .

Ο έλεγχος στο τέλος είναι φυσικά απαραίτητος.

#33

Καλή σας μέρα

p@g έγραψε:Καθώς κάναμε επανάληψη σχολείο μας βάζει ο καθηγητής μία ανίσωση του τύπου $\frac{x-1}{x-2}<0$ ... στο τέλος μας είπε ότι σε περίπτωση που έχουμε καθαρή ανισότητα δεν χρειάζεται να πάρουμε περιορισμό διότι αποκλείεται να αποτελεί ο περιορισμός λύση

Βλέποντας το αρχικό μήνυμα μου φάνηκε ότι πρόκειται περί όνου σκιάς. Ο άνθρωπος (ο καθηγητής) είχε δίκιο, κάποια παιδιά μαθημένα σε περισσότερες προφυλάξεις ήθελαν ένα παραπανίσιο (=άχρηστο εν προκειμένω) περιορισμό μικρό το κακό. Άντε να είχε και κάποια φόρτιση από τοπικά συμβάντα της σχολικής κοινωνίας και των πέριξ (φροντιστήρια κ.τ.λ).
Παρακολουθώντας την όλη συζήτηση είδα ότι τελικά ότι το θέμα έφυγε από την επίλυση της $\frac{x-1}{x-2}<0$ και έφτασε σε άλλα επίπεδα. Ετέθη δίλημμα έφαμιλλο του Σαιξπηρικου To be or not be:
Να βάζουμε περιορισμούς ή όχι;
Είδα ότι αναπτύχθηκαν επιχειρήματα από δύο "σχολές".
Η μία σχολή:
Βάζουμε περιορισμούς παντού και πάντα και προχωράμε με ισοδυναμιές. Σε κάθε βήμα ξέρουμε που πατάμε και στο τέλος ότι βρούμε ξέρουμε ότι είναι έγκυρο και αποδεκτό.
Η άλλη σχολή:
Δεν βάζουμε περιορισμούς ή βάζουμε όσο μπορούμε λιγότερους. Προχωράμε δίνοντας έμφαση στην διαδικασία. Αντιλαμαβανόμαστε ότι αυτά που βρίσκουμε σε κάθε βήμα μπορεί να μην αποτελούν λύση του προβληματος μας. Δεν πειράζει θα κάνουμε ταμείο στο τέλος.

Ανήκω στην δεύτερη σχολή. Βάζω ελάχιστους περιορισμούς στον πίνακα. Tόσο λίγους που συχνά πυκνά θα βρεθεί κάποιος μαθητής να με διακόψει ρωτώντας "και που ξέρουμε ότι αυτό είναι διάφορο του μηδενός". Αναπτύσσω όλη την υποψήφια λύση δηλαδή το σχέδιο δράσης και μετά συζητάω με τα παιδιά τα αδύνατα σημεία του. Βλέπω τους περιορισμους σαν βοηθητικές ρόδες, μπρατσάκια, μπλέντερ. Αν εθιστείς σε αυτά κινδυνεύεις να μη μάθεις ποδήλατο, κολύμπι και να μασάς.
Στο σημείο αυτό προτιμώ να είμαι ειλικρινής με τα παιδιά. Τους ζητάω να λύνουν ένα πρόβλημα όπως λύνω εγώ ένα πρόβλημα κατα μόνας. Ακολουθώ τρέχοντας την ιδέα που θα μου έλθει και μετά κάνω τους ελέγχους. 'Οπως στην παλιά καλή ανάλυση-σύνθεση-διερεύνηση.
Υπάρχει βέβαια και η αντίληψη ότι για κάθε συνάρτηση πρέπει να βάζουμε περιορισμούς "επί τη εμφανίσει". Συνηθίζω στις τάξεις μου να σαρκάζω αυτή την αντίληψη λέγοντας ότι προκειμένου να βρούμε το όριο
$\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\sqrt{x^{13}-x^{8}\ln \left( x^{2}-1\right) +x^{3}\eta \mu x-x-1001}$
έχουμε τις εξής δυνατότητες
α) Να το βρούμε και μετά να ασχοληθούμε με κάτι άλλο
β) Να σπαταλήσουμε τη μικρή μας ζωη αναζητώντας το πεδίο ορισμού.
Μαυρογιάννης

#34

Αν ένα πράγμα μου αρέσει υπερβολικά εδώ μέσα , είναι αυτό το απίστευτο μωσαικό γνώσεων, απόψεων , τεκμηριώσεων...
Διαβάζοντας την απάντηση του Νίκου, μου έρχεται να πω το εξης: Εντάξει, καλό θα είναι να κάνουμε τον υπολογισμό μας
σβέλτα και στο τέλος να το κάνουμε το ταμείο μας...Όμως δεν κιδυνεύουμε, να κουραστούμε να υπολογίσουμε κάτι που...δεν έχει νόημα;
Π.χ Στο όριο που αναφέρει ο Νίκος, δεν είναι πιθανό η συνάρτηση να μην ορίζεται σε διάστημα της μορφής (α,+00);Νομίζω πως ναι, μέχρι αποδείξεως του εναντίου!
Παραπέμπω σε ερώτηση του βιβλίου κατεύθυνσης Γ'Λυκείου στη σελίδα 203, όπου ρωτάει αν τα αναφερόμενα όρια είναι καλώς ορισμένα, προφανώς με διδακτικό στόχο την αναγκαιότητα να κοιτάζουμε που και που αν ορίζεται η συναρτησή μου σε κατάλληλο διάστημα, ώστε να κάνω δουλειές! Νομίζω πως ανοίγουμε ένα φαυλό κύκλο...

Κώστας Μαλλιάκας · #35

Γεια σας ξανά. Πριν λίγο έγραψα ένα κείμενο για το θέμα και εξαφανίστηκε. Οπότε το ξαναγράφω...Αν το ξαναδείτε συγγνώμη ...
Το θέμα των περιορισμών με απασχόλησε αρκετά και μάλιστα το έχουμε συζητήσει πολλές φορές στο Παράρτημα Δωδεκανήσου εν μέσω συνεδριάσεων της Δ.Ε.
Η γνώμη μου είναι ότι οι περιορισμοί πρέπει να αναφέρονται πριν την λύση της εξίσωσης αλλά δεν είναι ανάγκη να λύνονται κιόλας. απλώς στο τέλος να ελέγχουμε αν οι λύσεις είναι δεκτές αντικαθιστώντας στους περιορισμούς είτε στην εξίσωση. Μια μικρή διαφοροποίηση μου είναι ότι στην πορεία επίλυσης , αν απομονώσουμε ριζικό και χρειαστεί να υψώσουμε στο τετράγωνο να βάζουμε νέους περιορισμούς να είναι και τα δύο μέλη της εξίσωσης μη αρνητικά ώστε η ενέργεια μας να είναι επιτρεπτή.
Ένα επιχείρημα μου που ίσως πείσω κάποιους είναι κάτι που κάνω κάθε χρόνο στο σχολείο όταν διδάσκω τις άρρητες εξισώσεις και αργότερα τις λογαριθμικές. Μετά την πρώτη διδασκαλία δίνω εσκεμμένα ένα παράδειγμα για εξάσκηση στους μαθητές της μορφής "τετρ. ρίζα κάτι=αριθμός" όπου το κάτι ένα πολυώνυμο τρίτου βαθμού χωρίς ακέραιες ρίζες.Το αποτέλεσμα είναι κάθε χρόνο να βρίσκω μαθητές που γκρινιάζουν και τελικά δεν λύνουν την εξίσωση γιατί προφανώς δεν μπορούν να λύσουν τους περιορισμούς. Φυσικά αυτό οφείλεται σε ένα στερεότυπο τρόπο επίλυσης (που προφανώς τον έμαθαν στο φροντιστήριο αφού εγώ δεν το δίδαξα ακόμη-χωρίς να κατηγορώ τον συνάδελφο-φροντιστή) που και κουράζει τους μαθητές αφού τους βάζει σε μια "κάπως περιττή" διαδικασία και τους απομακρύνει από το ουσιαστικό που είναι να λυθεί η εξίσωση.Μόλις τους λέω ότι για μένα αρκεί να αναφέρουν τους περιορισμούς χωρίς να τους λύνουν και να προχωρούν όπως είπα παραπάνω στην λύση της εξίσωσης βλέπουν ότι μετά την ύψωση στο τετράγωνο προκύπτει τελικά μια απλή πολυωνυμική με ακέραιες ρίζες που ελέγχουμε απλώς αν ικανοποιούν τους περιορισμούς.Δεν νομίζω ότι χάνουμε από την αυστηρότητα ή την λογική των Μαθηματικών αφού ουσιαστικά αναφέρουμε αυτά που πρέπει αλλά και κάτι να χαθεί είναι ελάχιστο μπροστά σε αυτά που θα κερδίσουμε αφήνοντας τους μαθητές περισσότερο ελεύθερους να δοκιμάσουν λύσεις όχι τόσο σχολαστικές και φορμαλιστικές αφού με αυτά απομακρύνονται από τα Μαθηματικά γιατί απογοητεύονται που δεν μπορούν να ανταπεξέλθουν στην τόση αυστηρότητα.
Βέβαια μπορούν να βρεθούν και παραδείγματα που μόνο με την λύση των περιορισμών να απαντήσουμε για τον αν έχει λύσει η εξίσωση ή αν έχει νόημα αναζήτησης ένα όριο...αλλά αυτά είναι άλλα παραδείγματα που μπορούμε να τα αναφέρουμε και να αφήσουμε τους μαθητές να κρίνουν τι χρειάζονται κάθε φορά και όχι να "πρέπει" να κάνουν κάτι. Δεν πρέπει πάντα να σκεφτόμαστε σαν μαθηματικοί αλλά να μπαίνουμε και στις σκέψεις των παιδιών.
Πάντως οποιαδήποτε άποψη που γράφτηκε εδώ έχει τα επιχειρήματα της και είναι σεβαστή.
Ευχαριστώ

Ραϊκόφτσαλης Θωμάς · #36

nsmavrogiannis έγραψε:Καλή σας μέρα
β) Να σπαταλήσουμε τη μικρή μας ζωη αναζητώντας το .....

Μαυρογιάννης

μα αφού ο καθένας από εμάς έχει κάνει (διδάξει) και τις δυο διαδικασίες,γιατί να σπαταλήσουμε τη μικρή μας ζωή για να πείσει ο ένας τον άλλο, αφού τελικά στο δια ταύτα συμφωνούμε;
Στα δύσκολα, βάζουμε τους περιορισμούς και στο τέλος ελέγχουμε το αποτέλεσμα (έμεσος τρόπος) και όχι κατ' ανάγκη άμεσος.
Θωμάς

Α.Κυριακόπουλος · #37

Demetres έγραψε:Αντώνη, νομίζω πως δεν υπάρχει πρόβλημα με την ακόλουθη λύση:

$\sqrt{x-1-\sqrt{x}} = 3 - \sqrt{x} \\ \Rightarrow x - 1 - \sqrt{x} = 9 - 6\sqrt{x} + x \\ \Rightarrow 5\sqrt{x} = 10 \\ \Rightarrow x = 4.$

Για , $\sqrt{x-1-\sqrt{x}} = 1 = 3-\sqrt{x}$ .

Ο έλεγχος στο τέλος είναι φυσικά απαραίτητος.

•Αγαπητέ Demetres. Υπάρχει πρόβλημα. Για ποια x ισχύουν οι συνεπαγωγές που γράφεις;
•Αγαπητέ Νίκο. Το σύνολο ορισμού στις εξισώσεις και στις ανισώσεις το χρειαζόμαστε για να ξέρουμε για ποια x ισχύουν αυτά που θα γράψουμε στη συνέχεια. Διαφορετικά θα μιλάμε στον αέρα. Δεν είναι απαραίτητο (το σύνολο ορισμού) να το έχουμε γράψει υπό μορφή διαστήματος ή ενώσεων διαστημάτων του R. Το να βάζεις «ελάχιστους περιορισμούς», όπως γράφεις, δεν εξυπηρετεί σε τίποτα.
$\rightarrow$ Όταν θέλουμε να βρούμε ένα όριο δεν χρειάζεται να θέτουμε το σύνολο ορισμού της συνάρτησης υπό μορφή διαστήματος, ή ενώσεων διαστημάτων του R. Οι ορισμοί και τα θεωρήματα των ορίων δεν απαιτούν κάτι τέτοιο. Άλλωστε αυτό δεν μπορεί να γίνει πάντοτε, όπως στο παράδειγμα που γράφεις. Εκείνο που απαιτούν οι ορισμοί και τα θεωρήματα (και είναι απαραίτητο) ,είναι η συνάρτηση να είναι ορισμένη « κοντά στο ξ»( όταν έχουμε όριο με x τείνει στο ξ). Διαφορετικά, υπάρχει περίπτωση να βρούμε κάποιο όριο που δεν υπάρχει!!!.

dement · #38

Α.Κυριακόπουλος έγραψε:
Demetres έγραψε:Αντώνη, νομίζω πως δεν υπάρχει πρόβλημα με την ακόλουθη λύση:

$\sqrt{x-1-\sqrt{x}} = 3 - \sqrt{x} \\ \Rightarrow x - 1 - \sqrt{x} = 9 - 6\sqrt{x} + x \\ \Rightarrow 5\sqrt{x} = 10 \\ \Rightarrow x = 4.$

Για , $\sqrt{x-1-\sqrt{x}} = 1 = 3-\sqrt{x}$ .

Ο έλεγχος στο τέλος είναι φυσικά απαραίτητος.
•Αγαπητέ Demetres. Υπάρχει πρόβλημα. Για ποια x ισχύουν οι συνεπαγωγές που γράφεις;

Ζητω συγγνωμη που πεταγομαι σε ερωτημα που δεν απευθυνεται σ'εμενα.

Η απαντηση, κατα τη γνωμη μου, ειναι για ολα τα

, συμπεριλαμβανομενων και των 'απαγορευμενων'. Ας μην ξεχναμε οτι, σε μια συνεπαγωγη $A \Longrightarrow B$ , αν η

ειναι ψευδης (και αυτο συμπεριλαμβανει το ενδεχομενο καποιες παραστασεις μεσα σε αυτην να μην εχουν νοημα λογω 'απαγορευμενων' τιμων του

) τοτε η συνεπαγωγη ειναι αληθης.

Το προβλημα θα παρουσιαζοταν αν στη

ειχαμε 'απαγορευμενες' τιμες που επιτρεπονται στο

. Εδω ομως δεν υπαρχει τετοιο θεμα. Η αληθεια των συνεπαγωγων, κατα συνεπεια, δεν κινδυνευει.

Η προταση

$\forall x \in \mathbb{R} \ \left( \sqrt{x-1-\sqrt{x}} = 3 - \sqrt{x} \Longrightarrow x - 1 - \sqrt{x} = 9 - 6\sqrt{x} + x \right)$ ειναι αληθης και δε χρειαζεται να προσθεσουμε κανεναν περιορισμο.

Το ιδιο ισχυει και για τις υπολοιπες συνεπαγωγες, ωσπου καταληγουμε στην (αληθη) προταση

$\forall x \in \mathbb{R} \ \left( \sqrt{x-1-\sqrt{x}} = 3 - \sqrt{x} \Longrightarrow x = 4 \right)$ , η οποια φυσικα δε μας λεει οτι το

ειναι λυση της εξισωσης αλλα οτι η εξισωση δεν εχει αλλες λυσεις. Μενει ακομα να ξεχωρισουμε αναμεσα στο $\{4\}$ και στο κενο συνολο ως συνολο λυσεων της εξισωσης, πραγμα που κανουμε με την επαληθευση.

Δημητρης Σκουτερης

#39

Α.Κυριακόπουλος έγραψε: •Αγαπητέ Demetres. Υπάρχει πρόβλημα. Για ποια x ισχύουν οι συνεπαγωγές που γράφεις;

Αγαπητέ Αντώνη. Με καλύπτει πλήρως το πιο πάνω σχόλιο του Δημήτρη Σκούτερη (dement). Πιο συγκεκριμένα, αν η πρόταση

$\forall x \in \mathbb{R} \ \left( \sqrt{x-1-\sqrt{x}} = 3 - \sqrt{x} \Longrightarrow x - 1 - \sqrt{x} = 9 - 6\sqrt{x} + x \right)$

είναι λανθασμένη, τότε πρέπει να υπάρχει κάποιο $x \in \mathbb{R}$ για το οποίο $\sqrt{x-1-\sqrt{x}} = 3 - \sqrt{x}$ αλλά $x - 1 - \sqrt{x} \neq 9 - 6\sqrt{x} + x$ .

Α.Κυριακόπουλος · #40

Αγαπητοί dement και Demetres. Aυτά που ισχυρίζεστε δεν είναι σύμφωνα με τη Μαθηματική Λογική και επομένως, ούτε με τα Μαθηματικά.
Γνωρίζω πολύ καλά πότε μια συνεπαγωγή είναι αληθής και πότε είναι ψευδής, αφού έχω γράψει βιβλίο Μαθηματικής Λογικής. Δυστυχώς είμαι στη δυσάρεστη θέση να σας πω ότι κάνετε μεγάλο λάθος. Η Μαθηματική Λογική λέει ότι : «Μια έκφραση για να μπορεί να χαρακτηρισθεί ως αληθής ή ως ψευδής, πρέπει απαραιτήτως να έχει νόημα. Οι εκφράσεις που δεν έχουν νόημα , δεν χαρακτηρίζονται ούτε ως αληθείς ούτε ως ψευδείς ». Για παράδειγμα, η έκφραση: « Ο πύργος του Άϊφελ είναι ο πατέρας του Σωκράτη» δεν μπορεί να χαρακτηρισθεί ούτε ως αληθής, ούτε ως ψευδής, γιατί δεν έχει νόημα (αφού οι πύργοι δεν μπορούν να είναι πατεράδες).
Όταν λοιπόν σε μία συνεπαγωγή : «Α συνεπάγεται Β», η έκφραση Α δεν έχει νόημα, δεν σημαίνει ότι η Α είναι ψευδής ( εδώ τα έχετε μπερδέψει) και επομένως ότι η συνεπαγωγή είναι αληθής. Απλούστατα, τότε η συνεπαγωγή δεν έχει καν νόημα..
•Αυτά που θα πω στη συνέχεια δεν απευθύνονται σε σας. Είναι μερικές γενικές σκέψεις μου.
Τα Μαθηματικά θεμελιώνονται, κατανοούνται και αναπτύσσονται με τη βοήθεια της Μαθηματικής Λογικής. Για να είμαστε σίγουροι ότι κάτι ισχύει στη Μαθηματική Λογική, επομένως και στα μαθηματικά, θα πρέπει να το έχουμε διαβάσει στη Μαθηματική Λογική, γιατί η κοινή Λογική δεν ταυτίζεται πάντοτε με την Μαθηματική Λογική. Οτιδήποτε κάνουμε στα μαθηματικά στηρίζεται σε κάποιο θεώρημα της Μαθηματικής Λογικής, είτε το καταλαβαίνουμε, είτε όχι. Χωρίς τη Μαθηματική Λογική, όχι μόνο δεν μπορούμε να εμβαθύνουμε στα μαθηματικά, αλλά θα κάνουμε λάθη χωρίς να το καταλάβουμε. Και το χειρότερο είναι ότι θα επιμένουμε στηριζόμενη την κοινή μας λογική. Η διαφορά μεταξύ κοινής και Μαθηματικής Λογικής είναι ότι η πρώτη αποκτάται με την πείρα , ενώ την δεύτερη πρέπει να την μελετήσουμε. Αυτός είναι ο λόγος που , όπως έγραψα και σε ένα προηγούμενο μήνυμα μου, στα μαθηματικά τμήματα των Πανεπιστημίων μας πρέπει το συντομότερο δυνατόν να βάλουν υποχρεωτικό το μάθημα της Μαθηματικής Λογικής. Το να προσπαθούν να μάθουν στους φοιτητές μαθηματικά, χωρίς τη Μαθηματική Λογική, είναι σαν να αρχίζουν το κτίσιμο μιας πολυκατοικίας από τον πρώτο όροφο.
.

Περιορισμοί

Re: Περιορισμοί

Re: Περιορισμοί

Re: Περιορισμοί

Re: Περιορισμοί

Re: Περιορισμοί

Re: Περιορισμοί

Re: Περιορισμοί

Re: Περιορισμοί

Re: Περιορισμοί

Re: Περιορισμοί

Re: Περιορισμοί

Re: Περιορισμοί

Re: Περιορισμοί

Re: Περιορισμοί

Re: Περιορισμοί

Re: Περιορισμοί

Re: Περιορισμοί

Re: Περιορισμοί

Re: Περιορισμοί

Re: Περιορισμοί

Μέλη σε σύνδεση