θεωρούμε την πρόταση 
"υπάρχει ασθενώς απρόσιτος πληθάριθμος" (weakly inaccessible cardinal)
Γνωρίζουμε ότι η θεωρία συνόλων ZFC δεν αποδεικνύει την πρόταση
(ZFC
), υπό την προϋπόθεση βέβαια ότι η ίδια (η ZFC) είναι συνεπής, μία θεώρηση η οποία θεωρείται δεδομένη στα πλαίσια του ζητούμενου που θα ακολουθήσει.Μάλιστα πιστεύουμε ότι δεν αποδεικνύει ούτε την άρνηση της
(ZFC
). Λέμε πιστεύουμε γιατί αντίθετα με το προηγούμενο, το τελευταίο ΔΕΝ αποδεικνύεται (ακόμη και αν αυτό αποτελεί πραγματικότητα). Για να είμαστε ακριβείς, δεν υπάρχει απόδειξη αυτού με τη συνήθη έννοια της πρωτοβάθμιας κατηγορηματικής λογικής που να παράγεται από τα αξιώματα της ZFC και τη συνολοθεωρητική πρόταση Con(ZFC) η οποία μεταθεωρητικά σημαίνει ότι η ZFC δεν παράγει αντιφάσεις. Αυτό ακριβώς είναι το ζητούμενο της παρούσας ανάρτησης.
ΖΗΤΟΥΜΕΝΟ
Να αποδειχθεί ότι:
ZFC + Con(ZFC)
ZFC 
ΣΗΜΕΙΩΣΗ
Η αναγόρευση μιας πρότασης
της γλώσσας 
σε αξίωμα μιας θεωρίας συνόλων που επεκτείνει την ZFC μπορεί να γίνει υπό την προϋπόθεση ότι αληθεύουν οι εξής δύο μεταθεωρητικές δηλώσεις:#1. η
δεν είναι θεώρημα της ZFC (ZFC 
)#2. η άρνηση της
δεν είναι θεώρημα της ZFC (ZFC 
)Στην πράξη θεωρούμε ότι η αλήθεια των δηλώσεων αυτών "πιστοποιείται" αν βρούμε μια απόδειξη τους που να παράγεται από τα αξιώματα της ZFC με την επιπλέον (sine qua non) υπόθεση ότι η τελευταία είναι συνεπής. Για παράδειγμα για την περίπτωση της υπόθεσης του συνεχούς
(Continuum Hypothesis) αυτές δόθηκαν αντίστοιχα από τους Cohen (#1.) και Gödel (#2.).Το ζητούμενο της παρούσας ανάρτησης σημαίνει ότι για την περίπτωση που
απόδειξη για την #2. δεν υπάρχει. Η θεά Namagiri μπορεί έρθει στον ύπνο μας και με κάποιον υπερβατικό τρόπο να μας κάνει να αισθανθούμε την αλήθεια της #2.. Ωστόσο αυτό θα παραμείνει μυστική διαίσθηση και δεν θα μετουσιωθεί σε θεώρημα. Κατά συνέπεια η επισύναψη της στα αξιώματα της ZFC (και γενικότερα των αξιωμάτων μεγάλων πληθαρίθμων) βασίζεται στην πίστη ότι πράττοντας ούτως δεν παράγονται αντιφάσεις. Η λέξη πίστη:
εισάγεται για να εκφράσουμε ότι έχουμε φτάσει σε μια περιοχή των μαθηματικών, στην οποία πραγματευόμαστε αλήθειες που βρίσκονται εκτός του κοσμικού ορίζοντα των μαθηματικών αποδείξεων, γεγονός που δεν μας επιτρέπει να τις επιβεβαιώσουμε άμεσα και κατηγορηματικά. δεν έχει θρησκευτικό χαρακτήρα αλλά εκφράζει την εγνωσμένη εκτίμηση (educated guess) της μαθηματικής κοινότητας ότι πρέπει να αληθεύει. δεν εκφράζει συναισθηματική σύνδεση ή προσκόλληση με τη συγκεκριμένη θεώρηση ή κάποια μορφή διανοητικής επένδυσης την οποία θα δυσκολευτεί η μαθηματική κοινότητα να εγκαταλείψει υπό το φως νέων δεδομένων.Αυτό είναι εκ πρώτης όψεως απογοητευτικό και ήταν μη αναμενόμενο για το χώρο των μαθηματικών στον οποίο κατά τα άλλα επικρατεί το "δεν δεχόμαστε δηλώσεις χωρίς απόδειξη". Ιδίως αν αναλογιστεί κανείς πως και η ίδια η κορωνίδα των θεωριών συνόλων, η ZFC, το θεμέλιο όλων των μαθηματικών, επίσης απλώς πιστεύουμε πως δεν παράγει αντιφάσεις.
Ωστόσο αυτό δεν είναι τόσο κακό όσο ακούγεται. Πέραν του γεγονότος ότι αν δεν ήταν έτσι τα πράγματα τα μαθηματικά θα ήταν μάλλον βαρετά, στην πράξη υπάρχουν δύο εκδοχές για την ZFC:
Ι) είτε παράγει αντιφάσεις
ΙΙ) είτε δεν παράγει αντιφάσεις
Αν ισχύει η περίπτωση Ι) κάποια στιγμή θα το μάθουμε. Είναι θέμα χρόνου επεξεργαζόμενοι τη θεωρία ZFC κάποια στιγμή να περιέλθουμε εις άτοπον. Ένα τέτοιο γεγονός όμως δεν πρόκειται να φέρει την καταστροφή. Άλλωστε έχει ξανασυμβεί. Το έχουμε ξαναζήσει με την αφελή θεωρία συνόλων.
Στα πλαίσια της τελευταίας κάθε ιδιότητα
όριζε ένα σύνολο 
ή αυστηρότερα 
(axiom schema of unrestricted comprehension)
Με απλά λόγια για μία οποιαδήποτε ιδιότητα
υπάρχει το σύνολο των συνόλων που την ικανοποιούν. Γρήγορα όμως ο Bertrand Russell διαπίστωσε ότι αυτό οδηγεί σε αντίφαση (δεν ήταν ο πρώτος που βρήκε μια αντίφαση, αλλά αυτός που βρήκε την πιο κραυγαλέα, εκείνη που επέφερε το κάταγμα στη σπονδυλική στήλη της αφελούς θεωρίας συνόλων). Πράγματι για την ιδιότητα
λαμβάνουμε το σύνολο 
και παρατηρούμε ότι: αν 
τοτε θα πρέπει 
αν τότε θα πρέπει Προφανώς υπήρχε πρόβλημα. Από την άλλη όμως η αντίφαση παραγόταν από μία πολλά υποσχόμενη θεωρία η οποία μπορούσε να σωθεί με μια απλή θεραπεία. Υπήρχαν δύο προσεγγίσεις.
Η πρώτη προσέγγιση οδηγούσε στη θεωρία κλάσεων. Οι κλάσεις είναι συλλογές που χωρίζονται σε δυο είδη:
τα σύνολα, που μπορούν να είναι μέλη μιας κλάσης και τις γνήσιες κλάσεις που δεν είναι σύνολα, δηλαδή δεν ανήκουν σε κάποια κλάση. Λέγοντας ότι το
δεν είναι σύνολο αλλά μια γνήσια κλάση η αντίφαση εξαφανιζόταν (ή κρυβόταν πολύ καλύτερα).Η δεύτερη προσέγγιση, αμιγώς συνολοθεωρητική, ήταν να εξασθενιστεί το παραπάνω αξίωμα σχήμα και να μετατραπεί στο αξίωμα του διαχωρισμού ( axiom of separation ) της ZFC όπως το ξέρουμε σήμερα. Σύμφωνα με αυτό, δοθείσης οποιασδήποτε ιδιότητας
μπορούμε να ξεχωρίσουμε τα σύνολα που την ικανοποιούν και να τα θεωρήσουμε μέλη ενός καινούργιου συνόλου όχι όμως γενικά και αόριστα αλλά από δοθέν σύνολο. Δηλαδή το πεδίο εφαρμογής των ιδιοτήτων έπαψε να είναι το σύμπαν των συνόλων και περιορίστηκε εντός οποιουδήποτε δοθέντος συνόλου.
Υπάρχει περίπτωση η ZFC να έχει το δικό της "παράδοξο του Russell"? Ίσως ναι, ίσως όχι. Αν ναι, τότε είναι πολύ καλά κρυμμένο. Τόσο καλά που επί 100 χρόνια, μια στρατιά ταλαντούχων μαθηματικών δεν το έχει βρει (αυτό είναι και ένας λόγος που δημιουργεί την πεποίθηση ότι μάλλον δεν υπάρχει). Αλλά όσο καλά κρυμμένο και αν είναι, εφ' όσον υπάρχει, είναι βέβαιο ότι θα εμφανιστεί μπροστά μας αργά ή γρήγορα. Σε αυτή την περίπτωση το φάρμακο θα είναι το ίδιο. Θα εξασθενήσουμε επαρκώς το αξιωματικό σύστημα της ZFC όπως έγινε με το αξίωμα του διαχωρισμού και θα εισέλθουμε σε έναν καινούργιο ερευνητικό κύκλο.
ΙΙ) Αν δεν υπάρχει αντίφαση, τότε έχουμε ένα λογικό Άγιο Δισκοπότηρο στα χέρια μας, μία υπέροχη θεωρία συνόλων που δουλεύει αψεγάδιαστα σαν καλοκουρδισμένη, αιώνια μηχανή. Απλά δεν έχουμε τον τρόπο να επιβεβαιώσουμε πέραν πάσης αμφιβολίας ότι όντως είναι έτσι και να πανηγυρίσουμε καυχόμενοι εν τούτω.
Θα πρέπει να αποδεχτούμε την πραγματικότητα που μας θέλει σαν τα (στερεά) πνεύματα του C. S. Lewis στο Great Divorce:
Η Μαθηματική Αλήθεια στην πληρότητα της παραμένει απρόσιτη εις τον αιώνα.
Μας επιτρέπεται όμως να εισέλθουμε "εις θεωρίαν αυτής" και "εις κοινωνίαν μετ' αυτής" διαβαίνοντας διαδοχικά σε όλο και πιο απόκρημνες κορυφές–θεωρήματα της ατέρμονης οροσειράς της.