Θέμα με Μ.Κ.Δ.-Αναζήτηση συμβατικής λύσης

ksofsa · #1

Καλημέρα.

Έστω θετικοί ακέραιοι $a_{1},...,a_{6}$ και σύνολα $S_{1},...,S_{6}\subseteq \left \{ 1,...,6 \right \}$ .

Αν ισχύουν τα εξής:

α)Υπάρχει μοναδική 6-άδα ρητών $\left \{ b_{1},...,b_{6} \right \}$ , ώστε για κάθε

, να είναι $a_{n}=\sum_{k\in S_{n}}^{}b_{k}$ ,

β)Οι αριθμοί $b_{1},....,b_{6}$ είναι θετικοί ακέραιοι,

γ)Υπάρχει $b_{i}$ , ώστε $gcd(b_{i},a_{1},...,a_{6})=1$ ,

τότε

$gcd(a_{1},...,a_{6})\leq 9$ .

Σχόλιο: Η λύση εκ κατασκευής χρησιμοποιεί μια σχετικά εξεζητημένη γνώση-πληροφορία. Αναρτώ το θέμα στο φόρουμ επειδή ψάχνω για απλούστερη-συμβατικότερη λύση.

ksofsa · #2

Δίνω και τη λύση που έχω υπόψιν, ώστε να βοηθήσει ,ενδεχομένως, στην εύρεση απλής λύσης.

Αν $\mathbf{a}=(a_{1},...,a_{6}), \mathbf{b}=(b_{1},...,b_{6})$ , τότε υπάρχει πίνακας $\mathbf{M}$ , αποτελούμενος μόνο από

και

,ώστε $\textbf{Mb}=\textbf{a}$ .

Ο πίνακας είναι συγκεκριμένος , διότι εξαρτάται μόνο από τη μορφή των συνόλων $S_{n}$ .

Επειδή η εξίσωση $\textbf{Mx}=\textbf{a}$ , έχει μοναδική λύση το $\mathbf{b}$ , έπεται ότι $det\textbf{M}\neq 0$ .

Έστω $d=gcd(a_{1},...,a_{6})$ .

Από τον κανόνα του Cramer, το $b_{i}$ της εκφώνησης προκύπτει ως πηλίκο με παρονομαστή την ορίζουσα $det\textbf{M}$ και αριθμητή την ορίζουσα ενός πίνακα με τη μια του στήλη να είναι το $\textbf{a}$ και η οποία επομένως διαιρείται από το

.

Επειδή $gcd(b_{i},d)=1$ , θα πρέπει $d\mid det\textbf{M}\Rightarrow det\textbf{M}\geq d$ .

Αν $d\geq 10$ , τότε $det\textbf{M}\geq 10$ , πράγμα άτοπο, διότι η μέγιστη τιμή που μπορεί να πάρει η ορίζουσα πίνακα $6\times 6$ , εφ' όσον αποτελείται από

και

, είναι

(βλ. εδώ).

Τελικά, $d\leq 9$ .

Θέμα με Μ.Κ.Δ.-Αναζήτηση συμβατικής λύσης

Θέμα με Μ.Κ.Δ.-Αναζήτηση συμβατικής λύσης

Re: Θέμα με Μ.Κ.Δ.-Αναζήτηση συμβατικής λύσης

Μέλη σε σύνδεση