Εύρεση συνάρτησης

orestisgotsis · #1

ΠΕΡΙΤΤΑ

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

orestisgotsis έγραψε: ↑
Τετ Απρ 12, 2023 1:20 pm
Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $f:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ έτσι ώστε: $f\left( f(n) \right)=n+2$ .

Δεν χρειάζεται Θεωρία Αριθμών.
Βάζοντας όπου

το

έχουμε

δηλαδή

Είναι άμεσο με επαγωγή να δείξουμε ότι f(2n)=f(0)+2n,f(2n+1)=f(1)+2n

Αν το

είναι άρτιος έστω f(0)=2k

τότε

ΑΤΟΠΟ.
Αρα f(0)=2k+1

τότε είναι f(2n)=2(k+n)+1

Ετσι έχουμε τις σχέσεις
f(f(2n))=2n+2,f(f(2n))=f(2(k+n)+1)=f(1)+2(k+n)

Παίρνουμε ότι 2=f(1)+2k

Αν υποθέσουμε ότι το f(1)

είναι περιττός όπως προηγουμένως για το f(0)

καταλήγουμε σε ΑΤΟΠΟ.
Αφού το f(1)

είναι άρτιος η σχέση 2=f(1)+2k

μας δίνει ότι
f(0)=1,f(1)=2

η

Στην πρώτη περίπτωση έχουμε την f(n)=n+1

ενω στην δεύτερη την συνάρτηση με f(2n)=n+3

,