Hardy 31

#1

"Hardy 31". Με αυτό τον κωδικό (σαν να ήταν διεύθυνση) αναφερόμαστε για συντομία στην άσκηση 31 σελίδα 37 της 10ης έκδοσης του A Course of Pure Mathematics του Hardy σε συζητήσεις μας με τον Μανώλη Ζαμπετάκη. Ο Μανώλης απόφοιτος της Ευαγγελικής Σχολής Σμύρνης και τώρα φοιτητής στο τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών του Ε.Μ.Π. υπήρξε ένας από τους πιό ταλαντούχους μαθητές που είχα την τύχη να διδάξω και διατηρεί αμείωτο το ενδιαφέρον του για τα Μαθηματικά. Ως συνέπεια αυτού του ενδιαφέροντος υπήρξε και η συστηματική μελέτη αρκετών βιβλίων μεταξύ των οποίων και το συγκεκριμένο του Hardy. Πέρυσι ο Μανώλης έστρεψε την προσοχή μου στην άσκηση 31 που τον είχε απασχολήσει (αργότερα και εμένα) αρκετά. Η άσκηση μας προκάλεσε κάποιον προβληματισμό και γιαυτό θα ήθελα να την συζητήσουμε εδώ. Επί του προκειμένου λοιπόν:

31. Αν $\left( a-b^{3}\right) b>0$ , τότε ο
$\displaystyle \root{3}\of{\left\{ a+\frac{9b^{3}+a}{3b}\sqrt{\frac{a-b^{3}}{3b}}\right\} }+\root{3}\of{\left\{ a-\frac{9b^{3}+a}{3b}\sqrt{\frac{a-b^{3}}{3b}}\right\} }$
είναι ρητός
[ Κάθε ένας από τους αριθμούς κάτω από την κυβική ρίζα είναι της μορφής $\left\{ \alpha +\beta \sqrt{\frac{\alpha -b ^{3}}{3b }}\right\} ^{3}$ , όπου οι $\alpha$ και $\beta$ είναι ρητοί.]

Και η άσκηση στο πρωτότυπο:

: Hardy31.png (49.91 KiB) Προβλήθηκε 2564 φορές

Μαυρογιάννης

#2

Με την παρούσα μορφή δεν κατάφερα να λύσω την άσκηση:

Καταρχήν φαντάζομαι ότι ο Hardy παραλείπει να αναφέρει ότι οι a,b

είναι ρητοί.

**************************************************************************************************
Πρώτα ας δούμε τι γίνεται με την πρωτότυπη άσκηση:
Αν θέσουμε $\displaystyle{a+\frac{9b^3+a}{3b}\sqrt{\frac{a-b^3}{3b}}=\left(x+y\sqrt{\frac{a-b^3}{3b}\right)^3}$ ,

μετά τις πράξεις παίρνουμε το σύστημα:

$\displaystyle{(a-b^3)xy^2+bx^3=ab}$ και $\displaystyle{9bx^2y+(a-b^3)y^3=9b^3+a}$

Θέτουμε t=x/y

, κι αφού διαιρέσουμε τις παραπάνω με y^3

και μετά τις προκύπτουσες κατά μέλη παίρνουμε

$\displaystyle{\frac{9bt^2+(a-b^3)}{(a-b^3)t+bt^3}=\frac{9b^3+a}{ab}}$

η οποία μας δίνει

$\displaystyle{(9b^3+a)bt^3-9ab^2t^2+(9b^3+a)(a-b^3)t-ab(a-b^3)=0}$

Θέτοντας, π.χ. a=2, b=1

, παίρνουμε την

11t^3-18t^2+11t-2=0

που δεν έχει ρητές ρίζες.
*********************************************************************************************

Μια πιθανή διόρθωση(?):

Αλλάζουμε το 9 με 8, δηλαδή θεωρούμε την παράσταση

$\displaystyle{\left(a+\frac{8b^3+a}{3b}\sqrt{\frac{a-b^3}{3b}}\right)^{1/3}+\left(a-\frac{8b^3+a}{3b}\sqrt{\frac{a-b^3}{3b}}\right)^{1/3}}$

Τότε για τη αντίστοιχη

$a+\frac{8b^3+a}{3b}\sqrt{\frac{a-b^3}{3b}}=\left(x+y\sqrt{\frac{a-b^3}{3b}\right)^3$

εργαζόμενοι ομοίως παίρνουμε το σύστημα

$\displaystyle{(a-b^3)xy^2+bx^3=ab}$ και $\displaystyle{9bx^2y+(a-b^3)y^3=8b^3+a}$

που εύκολα βλέπουμε ότι επιδέχεται ώς λύση x=b

και

.

Οπότε θα έχουμε

$\displaystyle{\left(a+\frac{8b^3+a}{3b}\sqrt{\frac{a-b^3}{3b}}\right)^{1/3}+\left(a-\frac{8b^3+a}{3b}\sqrt{\frac{a-b^3}{3b}}\right)^{1/3}=2b}$ .

Φιλικά,

Αχιλλέας

#3

Εναλλακτικα -- **και μετα την διορθωση του Αχιλλεα** -- ονομαζουμε την αρχικη παρασταση r = P^1/3 + Q^1/3 οποτε r^3 = P + Q + 3(P+Q)(PQ)^1/3 και PQ = [(4b^3 - a)/3b]^3: καταληγουμε αμεσα στην τριτοβαθμιο 3b(r^3) - 3(4b^3 - a)r - 6ab = 0 ή 3(r - 2b)[b(r^2) - 2(b^2)r + a] = 0, μοναδικη λυση της οποιας ειναι η r = 2b ... καθως η διακρινουσα της b(r^2) - 2(b^2)r + a ισουται προς 4b(b^3 - a) < 0.

Γιωργος Μπαλογλου

#4

achilleas έγραψε:Με την παρούσα μορφή δεν κατάφερα να λύσω την άσκηση:

Καταρχήν φαντάζομαι ότι ο Hardy παραλείπει να αναφέρει ότι οι είναι ρητοί.

**************************************************************************************************
Πρώτα ας δούμε τι γίνεται με την πρωτότυπη άσκηση:
Αν θέσουμε $\displaystyle{a+\frac{9b^3+a}{3b}\sqrt{\frac{a-b^3}{3b}}=\left(x+y\sqrt{\frac{a-b^3}{3b}\right)^3}$ ,

μετά τις πράξεις παίρνουμε το σύστημα:

$\displaystyle{(a-b^3)xy^2+bx^3=ab}$ και $\displaystyle{9bx^2y+(a-b^3)y^3=9b^3+a}$

Θέτουμε , κι αφού διαιρέσουμε τις παραπάνω με και μετά τις προκύπτουσες κατά μέλη παίρνουμε

$\displaystyle{\frac{9bt^2+(a-b^3)}{(a-b^3)t+bt^3}=\frac{9b^3+a}{ab} +}$

η οποία μας δίνει

$\displaystyle{(9b^3+a)bt^3-9ab^2t^2+(9b^3+a)(a-b^3)t-ab(a-b^3)=0}$

Θέτοντας, π.χ. , παίρνουμε την

που δεν έχει ρητές ρίζες.

Θα ήθελα να κάνω ένα σχόλιο για να γίνει κατανοητό αυτό που λέει ο Αχιλλέας.

Πολύ σωστά επισημαίνει ότι το a = 2, b=1 είναι αντιπαράδειγμα στην υπόδειξη του Hardy (που θέλει τα x, y και άρα το t = x/y ρητούς).

Προσοχή όμως, αυτό δεν σημαίνει ότι αναιρείται η αρχική άσκηση που ζητά να δείξουμε ότι είναι ρητός ο

$\displaystyle {\sqrt[3]{a+\frac{9b^3+a}{3b}\sqrt{\frac{a-b^3}{3b}}} + \sqrt[3]{a-\frac{9b^3+a}{3b}\sqrt{\frac{a-b^3}{3b}}} = \left( x+y\sqrt{\frac{a-b^3}{3b}}\right) +\left( x-y\sqrt{\frac{a-b^3}{3b}\right)}=2x }$

Δηλαδή, δεν μας νοιάζει αν είναι ρητός ο y. Μόνο ο x μας ενδιαφέρει.

Δεν ξέρω την απάντηση, αλλά θα το ψάξω.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

#5

Καλησπέρα!

Μόλις είδα την άσκηση θυμίθηκα Θεωρία Σωμάτων, κατασκευασιμότητα κυβικών ριζών, επίλυση τριτοβάθμιας... (εκεί είχα ασχοληθεί με τέτοιου είδους ρίζες)...
Έψαξα στο αρχείο μου και βρήκα ένα άρθρο που μελετά τέτοιου είδους αθροίσματα ριζικών (γενικεύει και κάπως τα πράγματα). Το μοιράζομαι μαζί σας.

Αφού και εγώ προσπάθησα με την αρχική άσκηση και δεν κατέληξα κάπου, (με την επισήμανση του Αχιλλέα) γράφω κάποια σχόλια:

Γνωρίζουμε ότι για την κυβική εξίσωση: x^3-3cx=2a.

η λύση (Cardan) είναι:

$x=\Big(a+\sqrt{a^2-c^3}\Big)^{\frac{1}{3}}+\Big(a-\sqrt{a^2-c^3}\Big)^{\frac{1}{3}}$ .

Θέτοντας (όπως ο κ. Μπαλόγλου) με x,

$x= \displaystyle {\sqrt[3]{a+\frac{8b^3+a}{3b}\sqrt{\frac{a-b^3}{3b}}} + \sqrt[3]{a-\frac{8b^3+a}{3b}\sqrt{\frac{a-b^3}{3b}}}$

καταλήγουμε x^3=3cx+2a,

όπου $c=\sqrt[3]{\big(a+\frac{8b^3+a}{3b}\sqrt{\frac{a-b^3}{3b}})\ctot\big(a-\frac{8b^3+a}{3b}\sqrt{\frac{a-b^3}{3b}}\big)}.$

Tο $c=\frac{4b^3-a}{3b}$ , ύστερα από πράξεις (εδώ ήταν το μυστικό των συγκεκριμένων ριζών!).

Οπότε, τώρα εξετάζουμε την εξίσωση, η οποία έχει μοναδική ρίζα την x=2b

κ.τ.λ...

Νίκος Κατσίπης

#6

nsmavrogiannis έγραψε: 31. Αν $\left( a-b^{3}\right) b>0$ , τότε ο
$\displaystyle \root{3}\of{\left\{ a+\frac{9b^{3}+a}{3b}\sqrt{\frac{a-b^{3}}{3b}}\right\} }+\root{3}\of{\left\{ a-\frac{9b^{3}+a}{3b}\sqrt{\frac{a-b^{3}}{3b}}\right\} }$
είναι ρητός

Τελικά η άσκηση είναι λάθος.

Αν $\sqrt[3]{A} + \sqrt[3]{B} = p$ είναι ρητός, όπου Α, Β ακέραιοι, τότε υψώνοντας στον κύβο έχουμε

$A = (p - \sqrt[3]{B})^3 = p^3 - B - 3p \sqrt[3]{B}(p - \sqrt[3]{B}) = p^3 - B - 3p \sqrt[3]{B}\sqrt[3]{A}$

δηλαδή

$\sqrt[3]{AB}= \frac{p^3-B-A}{3p}$ = ρητός.

Όμως εύκολα βρίσκουμε παραδείγματα (π.χ. α = 28, β = 1, άρα Α = 65, Β = -9) που δίνουν άρρητο $\sqrt[3]{AB}$ .

Ευχαριστίες στον Νίκο, στον Αχιλλέα και φυσικά στον δαίμονα του τυπογραφείου του Hardy.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

1) Νίκο (Κατσίπη), διασταυρώθηκαν οι απαντήσεις μας. Πάρα πολύ ενδιαφέρον αυτό που έστειλες.

2) διόρθωσα ένα τυπογραφικό μου σφάλμα. Είναι α = 28, όχι α=4 που έγραψα αρχικά. Και το α=4 δίνει αντιπαράδειγμα, αλλά οι υπόρριζες ποσότητες είναι ρητές, όχι ακέραιες.

#7

Mihalis_Lambrou έγραψε: Θα ήθελα να κάνω ένα σχόλιο για να γίνει κατανοητό αυτό που λέει ο Αχιλλέας.

Πολύ σωστά επισημαίνει ότι το a = 2, b=1 είναι αντιπαράδειγμα στην υπόδειξη του Hardy (που θέλει τα x, y και άρα το t = x/y ρητούς).

Προσοχή όμως, αυτό δεν σημαίνει ότι αναιρείται η αρχική άσκηση που ζητά να δείξουμε ότι είναι ρητός ο

$\displaystyle {\sqrt[3]{a+\frac{9b^3+a}{3b}\sqrt{\frac{a-b^3}{3b}}} + \sqrt[3]{a-\frac{9b^3+a}{3b}\sqrt{\frac{a-b^3}{3b}}} = \left( x+y\sqrt{\frac{a-b^3}{3b}}\right) +\left( x-y\sqrt{\frac{a-b^3}{3b}\right)}=2x }$

Δηλαδή, δεν μας νοιάζει αν είναι ρητός ο y. Μόνο ο x μας ενδιαφέρει.

Δεν ξέρω την απάντηση, αλλά θα το ψάξω.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

Πράγματι, ο τρόπος που έγραψα για το ζεύγος a = 2, b=1

είναι αντιπαράδειγμα στην υπόδειξη του Hardy.

Στην προσπάθεια να λύσω την άσκηση ξεκίνησα θέτοντας a-b^3=1

με

(οπότε

) για να ισχύει η συνθήκη της υπόθεσης, και εξέτασα την παράσταση

$\left(2+\frac{11}{3\sqrt{3}}\right)^{1/3}+\left(2-\frac{11}{3\sqrt{3}}\right)^{1/3}$ .

Ο αριθμός $2-\frac{11}{3\sqrt{3}}$ είναι αρνητικός οπότε θα πρέπει να είμαστε προσεκτικοί.
Το Μaple μου τον έβγαζε μιγαδικό, οπότε θεώρησα το ίδιο ζεύγος ως αντιπαράδειγμα στην άσκηση και
υποπτεύθηκα ότι η άσκηση είναι λάθος.

Αισθάνθηκα πιο σίγουρος όταν στην προσπάθεια μου να λύσω το σύστημα

achilleas έγραψε:
$\displaystyle{(a-b^3)xy^2+bx^3=ab}$ και $\displaystyle{9bx^2y+(a-b^3)y^3=9b^3+a}$

και μετά από τη δυσκολία που συνάντησα, έθεσα x=b, y=1

που μου φαινόταν ως "φυσιολογική" λύση.Τότε είδα ότι
το ζεύγος αυτό ικανοποιούσε την πρώτη εξίσωση, αλλά τη δεύτερη μόνο αν το 9 ήταν 8. Έτσι οδηγήθηκα στην υπόθεση ότι μάλλον
η άσκηση είχε τυπογραφικό λάθος.

Να προσθέσω, επίσης, ότι έχει νόημα να μιλάμε για το παραπάνω σύστημα στη "γενική" περίπτωση που ο $\sqrt{\frac{a-b^3}{3b}}$ είναι άρρητος. Όμως η περίπτωση αυτή είναι αρκετή για να μαντέψουμε τη λύση x=b,y=1

και να συνεχίσουμε.

Φιλικά,

Αχιλλέας

Υ.Γ. Φυσικά, εκ του αποτελέσματος, μόνο ο

πρέπει να είναι ρητός.
Αναρωτιέμαι γιατί ο Hardy δεν το είχε στη υπόθεση.

#8

Σας ευχαριστώ πολύ που ασχοληθήκατε με την άσκηση.

Mihalis_Lambrou έγραψε: Τελικά η άσκηση είναι λάθος.

Σε αυτό το συμπέρασμα είχαμε καταλήξει και εμείς με τον Μανώλη αλλά είμαστε πολύ επιφυλακτικοί. Ο λόγος είναι ότι το συγκεκριμένο βιβλίο έκανε μία πανηγυρική, λόγω εκατονταετίας, ανατύπωση της 10ης έκδοσης με νέο πρόλογο γραμμένο από τον T. W. Körner. Στην έκδοση αυτή η άσκηση είναι ίδια και απαράλλαχτη. Σκεφτήκαμε πως με τόσες χιλιάδες, αν όχι εκατομμύρια μάτια που έχουν περάσει πάνω από το βιβλίο τα παροράματα θα έχουν πλέον αναιχνευθεί και διορθωθεί.

Mihalis_Lambrou έγραψε: Αν $\sqrt[3]{A} + \sqrt[3]{B} = p$ είναι ρητός, όπου Α, Β ακέραιοι, τότε υψώνοντας στον κύβο έχουμε

$A = (p - \sqrt[3]{B})^3 = p^3 - B - 3p \sqrt[3]{B}(p - \sqrt[3]{B}) = p^3 - B - 3p \sqrt[3]{B}\sqrt[3]{A}$

δηλαδή $\sqrt[3]{AB}= \frac{p^3-B-A}{3p}$ = ρητός.

Όμως εύκολα βρίσκουμε παραδείγματα (π.χ. α = 4, β = 1, άρα Α = 65, Β = -9) που δίνουν άρρητο $\sqrt[3]{AB}$

Μιχάλη η απόδειξη σου είναι πολύ κομψή (όλως δευτερεύον: εκεί που λες "όπου Α, Β ακέραιοι" νομίζω ότι ταιριάζει καλλίτερα το ρητοί). Η απόδειξη που έχουμε με τον Μανώλη είναι πολύ πιό εκτενής. Θα την ανεβάσω σύντομα χάριν βιοποικιλότητας.
Μαυρογιάννης

#9

nsmavrogiannis έγραψε:εκεί που λες "όπου Α, Β ακέραιοι" νομίζω ότι ταιριάζει καλλίτερα το ρητοί.

Ναι Νίκο, το έχω υπόψη. Έγραψα "ακέραιοι" για να φανεί το λάθος της άσκησης ακόμη και με περιορισμό των συνθηκών.

Όσο για τα εκατομμύρια μάτια που έχουν παραβλέψει το τυπογραφικό, θυμήθηκα τον Στέφανο Τραχανά, πολύ δυνατό Φυσικό και Διευθυντή των Πανεπιστημιακών Εκδόσεων Κρήτης.
Μου έλεγε μια φορά ότι με την τεράστια πείρα του και με συνεχή πειραματικό έλεγχο διατυπώνει το "Αξίωμα Τραχανά": Δεν υπάρχει βιβλίο χωρίς τυπογραφικά ή άλλα λάθη, όσο ικανοί και αν είναι οι συγγραφείς και οι επιμελητές της έκδοσης.

Τον πιστεύω! Βλέπω τα λάθη στα δικά μου βιβλία και ... κρύβομαι. Μα τα διάβασα 500 φορές. Μα τα ξαναδιάβασα άλλες 500. Μα τα διάβασαν και οι συν-συγγραφείς άλλες τόσες. Ε λοιπόν, λίγες είναι.

Φιλικά,

Μιχάλης.

#10

nsmavrogiannis έγραψε: Η απόδειξη που έχουμε με τον Μανώλη είναι πολύ πιό εκτενής. Θα την ανεβάσω σύντομα χάριν βιοποικιλότητας.

Ανεβάζω τις αποδείξεις που κάναμε για το εσφαλμένο της άσκησης το καλοκαίρι ο Μανώλης Ζαμπετάκης (ο οποίος ήταν και εκείνος που εντόπισε ότι η άσκηση είναι λάθος) και εγώ.
Του Μανώλη

Ask_Hardy_31_37.pdf: (171.65 KiB) Μεταφορτώθηκε 144 φορές

Η δική μου

Hardy31.pdf: (251.75 KiB) Μεταφορτώθηκε 124 φορές

Οπως προείπα οι αποδείξεις υπολείπονται σε κομψότητα της απόδειξης του Μιχάλη Λάμπρου.
Μαυρογιάννης

#11

Για την ιστορία:
Ο Μανώλης τέλειωσε το Πολυτεχνείο και έχει γίνει δεκτός με υποτροφία στο ΜΙΤ για να κάνει το διδακτορικό του.
Την άνοιξη τον καλέσαμε με τον Σωτήρη Χασάπη να δώσει μία διάλεξη στα παιδιά του ομίλου Μαθηματικών της Α΄Τάξης. Μετά το πέρας της ομιλίας του ρωτήθηκε σχετικά με το ποιό είναι το τίμημα του να κάνεις σημαντικά πράγματα με επιτυχία. Απάντησε ότι δεν υφίσταται τίμημα και στέρηση. Απλώς ένα μέρος του μυαλού σου είναι διαρκώς προσηλωμένο στο πρόβλημα που σε απασχολεί!
Μαυρογιάννης

#12

Πω πω!!! Πώς πέρασαν τόσα χρόνια από τότε... Θυμάμαι σαν χθες τη δημοσίευση αυτή του Νίκου!

Εύγε στον Μανώλη! Εύχομαι καλή αρχή στο νέο του αυτό ξεκίνημα. Ήδη μας έχει κάνει περήφανους και συνεχίζει... Μανώλη συνέχισε να κυνηγάς τα όνειρά σου. Η νεολαία μας χρειάζεται πρότυπα σαν κι εσένα!

Αλέξανδρος

#13

Πως περνούν τα χρόνια!
Σήμερα είχα την τιμή, την τύχη, και την χαρά να παρακολουθήσω μια εκδήλωση με δύο ομιλίες που δόθηκαν στην Ευαγγελική Σχολή Σμύρνης με θέματα που είχαν σχέση με την κρυπτογραφία και την τεχνητή νοημσύνη, από την Κατερίνα Σωτηράκη και τον Μανώλη Ζαμπετάκη επίκουρους Καθηγητές στο Πανεπιστήμιο του Yale.
Χάρηκα τις ομιλιες. καμάρωσα τα νέα παιδιά μας, που διαπρέπουν και ευχήθηκα, κάποτε, η Πατρίδα μας να αξιοποιήσει όλη αυτή την επιστημονική ισχύ.

Hardy 31

Hardy 31

Re: Hardy 31

Re: Hardy 31

Re: Hardy 31

Re: Hardy 31

Re: Hardy 31

Re: Hardy 31

Re: Hardy 31

Re: Hardy 31

Re: Hardy 31

Re: Hardy 31

Re: Hardy 31

Re: Hardy 31

Μέλη σε σύνδεση