Τέλειος κύβος

Fotis34 · #1

Να προσδιορίσετε όλους τους αριθμούς της μορφής:

$\displaystyle{274427442744...}$

(όπου το $\displaystyle{2744}$ εμφανίζεται μία ή περισσότερες φορές), για τους οποίους είναι τέλειος κύβος ακέραιου.

Υγ. Δικιά μου άσκηση, εμπνευσμένος από το περσινό Πρόβλημα 2 της JBMO, αλλά δεν έχω λύση.

#2

Αρκεί να δειχθεί, λόγω 2744=14^3,

ότι δεν είναι τέλειοι κύβοι οι 10001, 100010001, 1000100010001, 10001000100010001,

...

Αν κάποιος από τους παραπάνω ακεραίους πλην του πρώτου ( $73\cdot 137$ ) είναι τέλειος κύβος, τότε οφείλει να είναι της μορφής [(10^5)M+(10^4)x+1]^3

... αλλιώς τα προ του τελευταίου

μηδενικά θα είναι ή λιγότερα ή περισσότερα από τρία. Ένας τέτοιος κύβος όμως θα είναι υποχρεωτικά της μορφής (10^5)N+3(10^4)x+1,

όπου $1\leq x\leq 9,$ οπότε οφείλει να ισχύει, λόγω προτελευταίου

η

άρα

ο υποτιθέμενος τέλειος κύβος οφείλει λοιπόν να είναι της μορφής

[(10^6)U+(10^5)y+7(10^4)+1]^3=[(10^6)U+(10^4)(10y+7)+1]^3=(10^6)V+(10^5)(3y+2)+10001,

οπότε απαιτείται όπως και πριν, λόγω

προ προτελευταίου

αυτήν την φορά, η 3y+2=0mod10,

άρα

οπότε όμως ο υποτιθέμενος τέλειος κύβος θα είναι της μορφής (10^6)V+2010001,

άτοπο.

παρόσον δὲ οὐ συντιθέμενοι οἱ δύο κύβοι κύβον ἀποτελοῦσιν ἀλλὰ πολυπλασιαζόμενοι, καθ’ ἑαυτὸ μὲν τὸ θεώρημα τοῦτο γλαφυρόν τε καὶ εὐεπήβολον· -- Ιωάννης Πεδιάσιμος, Σχόλια στα Αναλυτικά Ύστερα του Αριστοτέλη*

*V. de Falco, Ioannis Pediasimi in Aristotelis analytica scholia selecta, Naples: Sangiovanni, 1926 [σελ. 109]

#3

gbaloglou έγραψε: ↑
Σάβ Φεβ 28, 2026 11:45 pm
Αρκεί να δειχθεί, λόγω ότι δεν είναι τέλειοι κύβοι οι ...

Αν κάποιος από τους παραπάνω ακεραίους πλην του πρώτου ( $73\cdot 137$ ) είναι τέλειος κύβος, τότε οφείλει να είναι της μορφής ... αλλιώς τα προ του τελευταίου μηδενικά θα είναι ή λιγότερα ή περισσότερα από τρία. Ένας τέτοιος κύβος όμως θα είναι υποχρεωτικά της μορφής όπου $1\leq x\leq 9,$ οπότε οφείλει να ισχύει, λόγω προτελευταίου η άρα ο υποτιθέμενος τέλειος κύβος οφείλει λοιπόν να είναι της μορφής

οπότε απαιτείται όπως και πριν, λόγω προ προτελευταίου αυτήν την φορά, η άρα οπότε όμως ο υποτιθέμενος τέλειος κύβος θα είναι της μορφής άτοπο.

παρόσον δὲ οὐ συντιθέμενοι οἱ δύο κύβοι κύβον ἀποτελοῦσιν ἀλλὰ πολυπλασιαζόμενοι, καθ’ ἑαυτὸ μὲν τὸ θεώρημα τοῦτο γλαφυρόν τε καὶ εὐεπήβολον· -- Ιωάννης Πεδιάσιμος, Σχόλια στα Αναλυτικά Ύστερα του Αριστοτέλη*

*V. de Falco, Ioannis Pediasimi in Aristotelis analytica scholia selecta, Naples: Sangiovanni, 1926 [σελ. 109]

Κάποιο κενό πρέπει να υπάρχει στα παραπάνω ... καθώς φαίνομαι να αποκλείω κύβους που λήγουν σε 100010001, ενώ ισχύει πχ η 466670001^3=101631808076305668100010001

Δεν είμαι σε θέση να αποφανθώ τώρα αν η στρατηγική μου είναι ή όχι νεκρή, θα επανέλθω αν το μπαλώσω...

Τέλειος κύβος

Τέλειος κύβος

Re: Τέλειος κύβος

Re: Τέλειος κύβος

Μέλη σε σύνδεση