ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ

SPYRIDON TZORTZIS · #1

ΑΣΚΗΣΗ 1.
Να βρεθούν όλα τα $k \in \mathbb{R}$ , τα οποία ικανοποιούν τη σχέση 4^k+6^k=9^k

.

ΑΣΚΗΣΗ 2.
Να βρεθούν όλα τα ζεύγη (x,y)

με $x,y\in\mathbb{Z}$ , τα οποία ικανοποιούν τη σχέση 615+x^2=2^y

.

#2

SPYRIDON TZORTZIS έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 04, 2020 6:20 pm
ΑΣΚΗΣΗ 1.
Να βρεθούν όλα τα $k \in \mathbb{R}$ , τα οποία ικανοποιούν τη σχέση .

Η εξίσωση γράφεται $\displaystyle {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{2k}} + {\left( {\frac{2}{3}} \right)^k} - 1 = 0$ και για $\displaystyle t = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^k} > 0,$

$\displaystyle {t^2} + t - 1 = 0\mathop \Leftrightarrow \limits^{t > 0} t = \frac{{\sqrt 5 - 1}}{2},$ απ' όπου $\boxed{k = \dfrac{{\ln \dfrac{{\sqrt 5 - 1}}{2}}}{{\ln \dfrac{2}{3}}}}$

#3

SPYRIDON TZORTZIS έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 04, 2020 6:20 pm
ΑΣΚΗΣΗ 1.
Να βρεθούν όλα τα $k \in \mathbb{R}$ , τα οποία ικανοποιούν τη σχέση .

ΑΣΚΗΣΗ 2.
Να βρεθούν όλα τα ζεύγη με $x,y\in\mathbb{Z}$ , τα οποία ικανοποιούν τη σχέση .

Πρόκειται για δύο άσχετες τελείως ασκήσεις.

Με $\displaystyle{\mod 3}$ έχουμε $\displaystyle{x^2\equiv (-1)^y\mod 3,}$ άρα πρέπει $\displaystyle{y}$ άρτιος, ας πούμε $\displaystyle{y=2a.}$

Η εξίσωση γράφεται

$\displaystyle{(2^a+x)(2^a-x)=615}$

και επειδή $\displaystyle{\gcd (2^a-x,2^a+x)=1,}$ πρέπει

$\displaystyle{2^a+x=d_1, 2^a-x=d_2,}$ όπου $\displaystyle{d_1,d_2 }$ πρώτοι μεταξύ τους διαιρέτες του $\displaystyle{615=3\cdot 5\cdot 41}$ .

Μάλιστα, επειδή $\displaystyle{d_1+d_2 =2^{a+1}}$ εύκολα βλέπουμε ότι $\displaystyle{2^a+x=123, 2^a-x=5,}$ οπότε τελικά $\displaystyle{x=59, y=12.}$

#4

SPYRIDON TZORTZIS έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 04, 2020 6:20 pm
ΑΣΚΗΣΗ 2.
Να βρεθούν όλα τα ζεύγη με $x,y\in\mathbb{Z}$ , τα οποία ικανοποιούν τη σχέση .

Για κάθε λύση

, και το

είναι λύση, οπότε μπορούμε να υποθέσουμε $x\ge0$ . Επίσης προφανώς $y\ge 0$ γιατί αλλιώς 2^y=

μη ακέραιος.

Το

δεν είναι πολλαπλάσιο του

γιατί τότε το αριστερό μέλος θα ήταν πολλαπλάσιο του

ενώ το ίσο του δεξί μέλος δεν είναι. Άρα $x^2 \equiv 1 \mod 3$ . Άρα $\displaystyle{(-1)^y\equiv 2^y\equiv 615+x^2\equiv 1 \mod 3}$ , και άρα y=2z=

άρτιος. H αρχική τώρα γράφεται

$(2^z+x)(2^z-x)=615=3\cdot5\cdot 41$ . Τώρα είναι λίγες οι εκδοχές, και μπορούμε να τις ελέγξουμε όλες με το χέρι, χωριστά.

Αρχίζουμε δηλαδή από την $2^z+x=3\cdot5\cdot 41, \, 2^z-x =1$ , στην $2^z+x=5\cdot 41, \, 2^z-x =3$ και ούτω καθ' εξής. Οι περισσότερες απορρίπτονται αμέσως. Εξαιρείται η

$2^z+x=3\cdot 41, 2^z-x =5$ που δίνει με προσθαφαίρεση $2^{z+1}= 128=2^7, x=59$

Άρα λύσεις οι $(x,y)=(x,2z)=(\pm 59, 12)$ .

Ουπσ. Παραάργησα και με πρόλαβε ο Θάνος, με την ίδια λύση. Το αφήνω...

SPYRIDON TZORTZIS · #5

Πολύ ωραίες οι λύσεις σας και ευχαριστώ για το χρόνο σας. Θα δώσω μια χωρίς modular arithmetic, όμως πιο αργή για την ΑΣΚΗΣΗ 2. .

Αρχικά, έχουμε την 615+x^2=2^y

. Σαφώς ισχύει πως τα δύο μέλη θα έχουν το ίδιο τελευταίο ψηφίο. Έτσι συμβολίζω το τελευταίο ψηφίο ενός αριθμού

, με

.

Ισχύει L(x)=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

$,\forall x\in \mathbb{N}$ .
Έτσι, $L(x^2)=0,1,4,9,6,5,6,9,4,1\Rightarrow L(615+x^2)=L(2^y)=5,6,9,4,1,0,1,4,9,6$ .
Όμως, για κάθε y=1,2,3,4,...

παίρνουμε

.

Επομένως, περιοριζόμαστε στις τριάδες (L(x),L(x^2),L(2^y))=(1,1,6),(3,9,4),(7,9,4),(9,1,6)

.

Τώρα έχοντας πως για οποιονδήποτε θετικό ακέραιο

ισχύει

, παίρνουμε τις εξής περιπτώσεις:

Αν το είναι περιττό, $y=2m+1, m\in\mathbb{N}$ , θα έχουμε $2^y=2^{2m+1}=2\cdot 4^m$ .
Άρα $L(2^y)=L(2\cdot 4^m)=4,6 \Rightarrow L(4^m)=2,3$ που είναι άτοπο λόγω της .

Αν το είναι άρτιο, $y=2n, n\in\mathbb{N}$ , θα έχουμε $2^y=2^{2n}= 4^n$ .
Άρα που ισχύει λόγω της .

Επομένως, ισχύει το y=2n

. Στη συνέχεια, η αρχική γίνεται $615+x^2=2^{2n} \Leftrightarrow 615=(2^n)^2-x^2 \Leftrightarrow 615=(2^n-x)(2^n+x)$ .

Όμως, με ανάλυση σε πρώτους παράγοντες παίρνουμε $615=3\cdot5\cdot41$ . Κατά συνέπεια, παίρνουμε τις εξής δυάδες παραγόντων του:
$615\rightarrow (1,615), (3,205), (5,123), (15,41)$ . Με αθροίσματα S(1,615)=616, S(3,205)=208, S(5,123)=128, S(15,41)=56

.

Το άθροισμα των παραγόντων 2^n-x, 2^n+x

στη γενική τους μορφή είναι $(2^n-x)+(2^n+x)=2\cdot2^n=2^{n+1}$ , που είναι δύναμη του

. Όμως από τα παραπάνω αθροίσματα, δύναμη του

είναι μόνο το S(5,123)=128

με παράγοντες για το 615

τα

. Άρα $S(2^n-x, 2^n+x)=2^{n+1}=128 \Leftrightarrow 2^{n+1}=2^7\Leftrightarrow n+1=7\Leftrightarrow n=6, y=12$ .

Στη συνέχεια, η διαφορά της γενικής μορφής των παραγόντων του 615

είναι $D(2^n-x, 2^n+x)=\pm2x$ .
Ακόμα, η διαφορά των παραγόντων 5,123

είναι $D(5,123)=\pm118$ . Άρα, $\pm2x=\pm118 \Leftrightarrow x=\pm59$ .

Τέλος, παίρνουμε τις δυάδες $\boxed{(x,y)=(59,12),(-59,12)}$ .

Υ.Γ. Να με συγχωρείτε για πιθανά λάθη στη διατύπωση καθώς είμαι καινούργιος στο

.

ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ

ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ

Re: ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ

Re: ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ

Re: ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ

Re: ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ

Μέλη σε σύνδεση