Συναρτησιακή σχέση

bouzoukman · #1

Έστω

θετικός ακέραιος. Να δειχθεί ότι
$\displaystyle{ \left(\sum_{d\mid n}\tau(d)\right)^2=\sum_{d\mid n}\tau^3(d), }$

όπου $\tau$ είναι η συνάρτηση που υπολογίζει το πλήθος των διαιρετών το

.

#2

Επειδή το αποτέλεσμα αυτό είναι επώνυμο (αλλά δεν θυμάμαι αυτόν που το ανακάλυψε) και επειδή ο τύπος υπάρχει ως θεωρία ή ως άσκηση
σε πολλά βιβλία Θεωρίας Αριθμών, θα δώσω μόνο υπόδειξη.

α) Δείξε ότι το κάθε μέλος είναι πολλαπλασιαστική συνάρτηση.

β) Από το α) αρκεί να δείξεις το αποτέλεσμα για n=p^k

, όπου

πρώτος. Αυτό είναι απλό: Θα χρειαστείς τον γνωστό τύπο (που ο ζητούμενος τον γενικεύει) (1+2+...+n)^2=1^3+2^3+...+n^3

.

bouzoukman · #3

Αυτά είναι τα βασικά βήμα της απόδειξης. Η άσκηση μπήκε πιο πολύ για να θυμηθούμε ιδιότητες των πολλαπλασιαστικών συναρτήσεων!

Συναρτησιακή σχέση

Συναρτησιακή σχέση

Re: Συναρτησιακή σχέση

Re: Συναρτησιακή σχέση

Μέλη σε σύνδεση