Βοήθεια σε άσκηση!!

[chriss]

Να δειξετε οτι στο {1,2,...,10} υπάρχει ένα σύνολο 8 ακεραίων, των οποίων καμια τετράδα τους δε σχηματίζει αριθμητική πρόοδο μήκους 4. και γιατί δεν ισχύει το ιδιο για σύνολο 9 ακεραίων.

Δεν έχω ιδέα τι πρέπει να κάνω και τι να αποδείξω.Δεν έχω ξανασχοληθεί με τέτοια μαθηματικά οπότε όποιος μπορει να με βοηθήσει...καλό θα ήταν!

ευχαριστώ!!!

[Mihalis_Lambrou]

Να δειξετε οτι στο {1,2,...,10} υπάρχει ένα σύνολο 8 ακεραίων, των οποίων καμια τετράδα τους δε σχηματίζει αριθμητική πρόοδο μήκους 4. και γιατί δεν ισχύει το ιδιο για σύνολο 9 ακεραίων.

Για το πρώτο, ένα τέτοιο σύνολο είναι το {1,2,3,5,6,8,9,10}.
Γρήγορος τρόπος να το δεις: Μία αριθμητική πρόοδος α, α+ω, α+2ω, α+3ω με όρους μεταξύ του 1 και του 10 έχει ω (αλλιώς α+ 3ω > 3ω > 10).
Για ω=3 η μόνη εκδοχή είναι α=1 και παρατηρούμε ότι η 1, 4, 7, 10 δεν βρίσκεται εξ ολοκλήρου στο σύνολό μας.
Με εύκολες δοκιμές βλέπεις ότι ούτε οι περιπτώσεις (ω =1 ή ω = 2) δίνουν εξ ολοκλήρου αριθμητική πρόοδο τεσσάρων όρων στο σύνολό μας.

Για το δεύτερο: Αν πάρουμε ένα σύνολο 9 στοιχείων από το {1, 2, ... , 10} θα πει ότι μας λείπει ακριβώς ένα στοιχείο. Αν αυτό είναι τότε το σύνολό μας περιέχει την πρόοδο {1,2,3,4}. Αλλιώς περιέχει την {5, 6,7,8} (και άλλες).

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

Υ.Γ.
Που το βρήκες το ωραίο αυτό πρόβλημα;

[chriss]

Καταρχήν σε ευχαριστώ πολύ για την βοήθεια.Νομίζω οτι κατάλαβα τι λες.
Μας την έχει δώσει ο καθηγητής που μας κάνει μαθηματικά στο πανεπιστήμιο.Βρίσκει διάφορες τέτοιες κατα περιόδους και μας τις δίνει για να μας ταλαιπωρεί!!

[lonis]

Μας την έχει δώσει ο καθηγητής που μας κάνει μαθηματικά στο πανεπιστήμιο.Βρίσκει διάφορες τέτοιες κατα περιόδους και μας τις δίνει για να μας ταλαιπωρεί!!

chriss, κι ο Μιχάλης Λάμπρου είναι καθηγητής πανεπιστημίου. Μην του δίνεις νέες ιδέες. Αυτές που έχει ήδη, φτάνουν για να "ταλαιπωρεί" τους φοιτητές του και όχι "κατά περιόδους" μόνο!

Λεωνίδας