Δίνονται οι φυσικοί αριθμοί

ηλεκτρο · #1

Δίνονται οι φυσικοί αριθμοί k,l,m,n. Αν ισχύει: $k \cdot m-{l^2} = 1$ και $l\cdot n-{m^2}= 1$ δείξτε ότι: k = 3l - m

και

.
Δεν έχω λύση.

#2

ηλεκτρο έγραψε:Δίνονται οι φυσικοί αριθμοί k,l,m,n. Αν ισχύει: $k \cdot m-{l^2} = 1$ και $l\cdot n-{m^2}= 1$ δείξτε ότι: και .
Δεν έχω λύση.

ΟΙ φυσικοί αριθμοί $1\leq m \leq \ell$ , τέτοιοι ώστε οι $\displaystyle{\frac{\ell^2+1}{m}}$ και $\displaystyle{\frac{m^2+1}{\ell}}$ να είναι ακέραιοι είναι οι (1,1)

και $(F_{2j-1}, F_{2j+1})$ ( $j\geq 1$ ),

όπου η $\{ F_n\}$ είναι η ακολουθία Fibonacci.

(Πρέπει να υπάρχουν αρκετές παραπομπές για αυτό. Δείτε, π.χ., Monthly, Ε3210, 1988, σελ. 879-880)

Αφού $\displaystyle{F_n^2=F_{n-2}F_{n+2}+(-1)^n}$ , οι ζητούμενες σχέσεις έπονται εύκολα, π.χ.

$\displaystyle{k=\frac{F_{2j+1}^2+1}{F_{2j-1}}=F_{2j+3}=F_{2j+2}+F_{2j}=\dots=3F_{2j+1}-F_{2j-1}=3\ell-m}$

Edit. Ψαχνοντας λίγο παραπάνω, βλέπουμε ότι το αρχικό πρόβλημα είναι το πρόβλημα 10203 1992,265] του Monthly, με μια (διαφορετική) κομψότατη λύση δημοσιευμένη το 1994, σελ. 279. Μετά τη λύση του παρουσιάζονται κάποιες παρόμοιες διοφαντικές εξισώσεις. Εκεί παραπέμπει και στο προαναφερθέν Ε3210.

Φιλικά,

Αχιλλέας

ηλεκτρο · #3

Παρακαλώ

Πιθανή λύση χρησιμοποιώντας τις εξισώσεις
Σας ευχαριστώ

#4

ηλεκτρο έγραψε:Παρακαλώ

Πιθανή λύση χρησιμοποιώντας τις εξισώσεις
Σας ευχαριστώ

Okay, αλλά ουσιαστικά αντιγράφω τη λύση του Nasha Komanda από την παραπάνω αναφορά. (Δείτε και το σχόλιο μετά τη λύση)

Το μέλος ηλεκτρο με ενημέρωσε ότι δεν έχει πρόσβαση στα παραπάνω αρχεία.

ηλεκτρο έγραψε:Δίνονται οι φυσικοί αριθμοί k,l,m,n. Αν ισχύει: $k \cdot m-{l^2} = 1$ και $l\cdot n-{m^2}= 1$ δείξτε ότι: και .
Δεν έχω λύση.

Οι δυο σχέσεις k = 3l - m

και

είναι ισοδύναμες με την $m^2+\ell^2+1=3m\ell$ .

(Πράγματι, π.χ, αν $n = 3m - \ell$ , τότε $m^2+\ell^2+1=\ell n +\ell^2=\ell(3m-\ell)+\ell^2=3m\ell$ και αντίστροφα).

Δείχνουμε με επαγωγή, ότι αν οι φυσικοί αριθμοί $1\leq m \leq \ell$ είναι τέτοιοι ώστε οι $\displaystyle{\frac{\ell^2+1}{m}}$ και $\displaystyle{\frac{m^2+1}{\ell}}$ να είναι ακέραιοι, τότε $m^2+\ell^2+1=3m\ell$ . (*)

Υποθέτουμε ότι $m\leq \ell$ . Η απόδειξη θα γίνει με επαγωγή επί του αθροίσματος m+n

.

Αν $m+\ell=2$ , ο ισχυρισμός ισχύει. Αν $\ell>1$ , τότε $m\leq \ell-1$ , οπότε $m^2+1<\ell^2$ και $n<\ell$ .

Από τις σχέσεις $m^2+1=n\ell$ και $\ell^2+1=km$ παίρνουμε (m^2+1)^2=n^2(mk-1)

, κι έτσι $1\equiv -n^2 \pmod{m}$ , κι έτσι το

διαιρεί τον n^2+1

. Αφού $n+m<m+\ell$ , από την εοαγωγική υπόθεση συμπεραίνουμε ότι n^2+m^2+1=3nm

.

Τώρα είναι

$(m^2+1)^2=n^2\ell^2=(3nm-m^2-1)\ell^2=3nm\ell^2-(m^2+1)\ell^2$ .

Επομένως,

$(m^2+1)(m^2+\ell^2+1)=3nm\ell^2=3m\ell(m^2+1)$ ,

απ'οπου έπεται ότι $m^2+\ell^2+1=3m\ell$ , όπως θέλαμε. Η απόδειξη ολοκληρώθηκε.

*******************************************************************************************************
Σχόλιo: Η μέθοδος λέγεται "vieta jumping". Έγινε πολύ δημοφιλής μετά τη Δ.Μ.Ο. του 1988, λόγω του περιβόητου προβλήματος 6 της εν λόγω Δ.Μ.Ο.

Μια λύση αυτού του προβλήματος καθώς και της (*) υπάρχει στο pdf αρχείο στη σελίδα http://www.yimin-ge.com/download.php?&id=15

Στο παραπάνω αρχείο υπάρχουν κι οι εξής παραπομπές:

http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?p=352683

http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?t=40207

http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?p=894656

Η μέθοδος, φυσικά, δε θα μπορούσε να λείψει από το forum μας: δείτε viewtopic.php?f=50&t=2212

Φιλικά,

Αχιλλέας

ηλεκτρο · #5

Καλή δουλειά και μεγάλη

Ευχαριστώ!

Δίνονται οι φυσικοί αριθμοί

Δίνονται οι φυσικοί αριθμοί

Re: Δίνονται οι φυσικοί αριθμοί

Re: Δίνονται οι φυσικοί αριθμοί

Re: Δίνονται οι φυσικοί αριθμοί

Re: Δίνονται οι φυσικοί αριθμοί

Μέλη σε σύνδεση