ΠΟΛΛΑ ΜΗΔΕΝΙΚΑ

Συντονιστής: nkatsipis

Απάντηση
ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4830
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

ΠΟΛΛΑ ΜΗΔΕΝΙΚΑ

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Πέμ Μάιος 30, 2019 6:41 pm

Να βρείτε σε πόσα μηδενικά τελειώνει ο αριθμός:

\displaystyle{A=1821 . 1822 . 1823 . ... . 2019}


Λέξεις Κλειδιά:
Θεωρία-αριθμών
Κορυφή
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 922
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: ΠΟΛΛΑ ΜΗΔΕΝΙΚΑ

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Πέμ Μάιος 30, 2019 7:03 pm

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε: ↑
Πέμ Μάιος 30, 2019 6:41 pm
 Να βρείτε σε πόσα μηδενικά τελειώνει ο αριθμός:

\displaystyle{A=1821 . 1822 . 1823 . ... . 2019}
Αρκεί να βρούμε k ώστε 10^k\parallel A

Επειδή όμως 10=2 \cdot 5 και 2<5 θα είναι 5^k\parallel A
(προσθήκη:Το παραπάνω δεν ισχύει γενικά απλά εδώ ο A έχει το δύο ως παράγοντα περισσότερες από όσες το πέντε)
Άρα αρκεί να βρούμε πόσες φορές υπάρχει το 5 ως παράγοντας στο A.

Στο διάστημα \left [ 1821,2019 \right ] υπάρχουν :

39 πολλαπλάσια του 5

8 πολλαπλάσια του 25=5^2

2 πολλαπλάσια του 125=5^3

1 πολλαπλάσιο του 625=5^4

Άρα ο A λήγει σε 39+8+1+2=50 μηδενικά.
τελευταία επεξεργασία από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ σε Πέμ Μάιος 30, 2019 8:34 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Κορυφή
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3714
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: ΠΟΛΛΑ ΜΗΔΕΝΙΚΑ

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Πέμ Μάιος 30, 2019 8:15 pm

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε: ↑
Πέμ Μάιος 30, 2019 6:41 pm
 Να βρείτε σε πόσα μηδενικά τελειώνει ο αριθμός:

\displaystyle{A=1821 . 1822 . 1823 . ... . 2019}
Ενας άλλος τρόπος είναι να γράψουμε

A=\dfrac{2019!}{1820!}

Βρίσκοντας σε πόσα μηδενικά λήγουν τα 2019! και 1820!

αφαιρώντας παίρνουμε το ζητούμενο.

Δες στο

https://www.cut-the-knot.org/blue/Legen ... orem.shtml


Κορυφή
sov_arvyd
Δημοσιεύσεις: 20
Εγγραφή: Κυρ Νοέμ 27, 2016 8:26 pm

Re: ΠΟΛΛΑ ΜΗΔΕΝΙΚΑ

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από sov_arvyd » Πέμ Μάιος 30, 2019 8:17 pm

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε: ↑
Πέμ Μάιος 30, 2019 7:03 pm
ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε: ↑
Πέμ Μάιος 30, 2019 6:41 pm
 Να βρείτε σε πόσα μηδενικά τελειώνει ο αριθμός:

\displaystyle{A=1821 . 1822 . 1823 . ... . 2019}
Αρκεί να βρούμε k ώστε 10^k\parallel A

Επειδή όμως 10=2 \cdot 5 και 2<5 θα είναι 5^k\parallel A

Άρα αρκεί να βρούμε πόσες φορές υπάρχει το 5 ως παράγοντας στο A.

Στο διάστημα \left [ 1821,2019 \right ] υπάρχουν :

39 πολλαπλάσια του 5

8 πολλαπλάσια του 25=5^2

2 πολλαπλάσια του 125=5^3

1 πολλαπλάσιο του 625=5^4

Άρα ο A λήγει σε 39+8+1+2=50 μηδενικά.
Το σημειωμένο δεν ισχύει(προσθέτω:γενικά). π.χ. 10^2\parallel500 όμως 5^3\parallel500.


Κορυφή
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 922
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: ΠΟΛΛΑ ΜΗΔΕΝΙΚΑ

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Πέμ Μάιος 30, 2019 8:32 pm

sov_arvyd έγραψε: ↑
Πέμ Μάιος 30, 2019 8:17 pm
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε: ↑
Πέμ Μάιος 30, 2019 7:03 pm
ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε: ↑
Πέμ Μάιος 30, 2019 6:41 pm
 Να βρείτε σε πόσα μηδενικά τελειώνει ο αριθμός:

\displaystyle{A=1821 . 1822 . 1823 . ... . 2019}
Αρκεί να βρούμε k ώστε 10^k\parallel A

Επειδή όμως 10=2 \cdot 5 και 2<5 θα είναι 5^k\parallel A

Άρα αρκεί να βρούμε πόσες φορές υπάρχει το 5 ως παράγοντας στο A.

Στο διάστημα \left [ 1821,2019 \right ] υπάρχουν :

39 πολλαπλάσια του 5

8 πολλαπλάσια του 25=5^2

2 πολλαπλάσια του 125=5^3

1 πολλαπλάσιο του 625=5^4

Άρα ο A λήγει σε 39+8+1+2=50 μηδενικά.
Το σημειωμένο δεν ισχύει(προσθέτω:γενικά). π.χ. 10^2\parallel500 όμως 5^3\parallel500.
Όντως δεν ισχύει γενικά ,αλλά στην συγκεκριμένη περίπτωση είναι προφανές αφού το A έχει το 2 ως παράγοντα περισσότερες από όσες το 5 .Θα το αλλάξω στην λύση να μην φαίνεται ότι ισχύει γενικά.
Ευχαριστώ.


Κορυφή
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης