Ακρότατα εμβαδού

#1

: Ακρότατα εμβαδού...png (11.34 KiB) Προβλήθηκε 505 φορές

Η πλευρά

τριγώνου

είναι σταθερή κατά θέση και μέγεθος, ενώ η κορυφή

κινείται σε ευθεία

παράλληλη στη

και σε απόσταση $h=\dfrac{2a}{3}$ από αυτήν. Αν η

είναι διχοτόμος και η

διάμεσος του

τριγώνου, να βρείτε συναρτήσει του

τα ακρότατα του εμβαδού (BDM)

καθώς και τις τιμές των AB, AC

που αντιστοιχούν σε αυτά.

Μπορείτε να γενικεύσετε για BC=a

και

Τι παρατηρείτε;

KARKAR · #2

: Ακρότατα εμβαδού.png (14.79 KiB) Προβλήθηκε 476 φορές

Χωρίς βλάβη , έστω a=3 , h=2

. Το ύψος του MBD

, είναι σταθερό (=1)

, άρα αναζητούμε

τα ακρότατα του

. Αλλά : $\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{AB}{AC}$ . Αν

η προβολή του

στην ευθεία

και :

είναι : $\dfrac{AB}{AC}=\sqrt{\dfrac{x^2+4}{x^2-6x+13}}$ με μέγιστο :

, για

και $BD=2 , E_{max}=1$

και ελάχιστο

για :

και : $E_{min}=\dfrac{1}{2}$ .

KARKAR · #3

: visv area.png (37.47 KiB) Προβλήθηκε 424 φορές

Για την γενική περίπτωση : Αναζητούμε τα ακρότατα του λόγου : $\dfrac{BD^2}{DC^2}$ $=\dfrac{x^2+h^2}{(a-x)^2+h^2}$ ,

τα οποία επιτυγχάνονται για $x=\dfrac{a-\sqrt{a^2+4h^2}}{2}$ το ελάχιστο και για $x=\dfrac{a+\sqrt{a^2+4h^2}}{2}$ το μέγιστο .

Στο ερώτημα "τι παρατηρείτε" , δεν μπορώ να μαντέψω τι ψάχνει ο θεματοδότης . Μπορώ όμως να παρατηρήσω ότι

οι θέσεις του

που αντιστοιχούν στα ακρότατα βρίσκονται εκτός του τμήματος

και μάλιστα συμμετρικά ...

#4

george visvikis έγραψε: ↑
Δευ Ιαν 06, 2025 1:36 pm

Η πλευρά τριγώνου είναι σταθερή κατά θέση και μέγεθος, ενώ η κορυφή κινείται σε ευθεία

παράλληλη στη και σε απόσταση $h=\dfrac{2a}{3}$ από αυτήν. Αν η είναι διχοτόμος και η διάμεσος του

τριγώνου, να βρείτε συναρτήσει του τα ακρότατα του εμβαδού καθώς και τις τιμές των

που αντιστοιχούν σε αυτά.

Μπορείτε να γενικεύσετε για και Τι παρατηρείτε;

Γιώργο και Θανάση καλημέρα...

Για το ανωτέρω ερώτημα παραθέτω και τα δικά μου ευρήματα:

Το εμβαδόν του τριγώνου $\displaystyle{(BDM)}$ το θεώρησα από τη συνάρτηση:

$\displaystyle{ E(BDM)=F(x)=\frac{1}{4}\frac{a\sqrt{x^2+h^2}}{\sqrt{x^2+h^2}+\sqrt{(a-x)^2+h^2}}h \ \ (1) }$

όπου η μεταβλητή $\displaystyle{x}$ είναι η τετμημένη του σημείου $\displaystyle{A(x,h)}$

Μελετὠντας τώρα τη συνάρτηση αυτή ψηφιακά (γιατί όχι;;) βρήκα τα ακόλουθα:

1η Περίπτωση:

Είναι: $\displaystyle{h=\frac{2a}{3} \ \ (2) }$

Τότε προέκυψε το ακόλουθο σχήμα:

: Ακρότατα Εμβαδού 1.png (24.4 KiB) Προβλήθηκε 371 φορές

Στο σχήμα αυτό βλέπει κανείς το γράφημα της συνάρτησης $\displaystyle{F}$ , το διάνυσμα $\displaystyle{ \overrightarrow{A_2N}}$ , τα ακρότατα

καθώς και τους δυο γεωμετρικούς τόπους που διατρέχουν τα δυο ακρότατα.

2η Περίπτωση

Το ύψος $\displaystyle{h}$ είναι ανεξάρτητο της τιμής του $\displaystyle{a}$

Τότε έχουμε το ακόλουθο σχήμα:

: Ακρότατα εμβαδού 2.png (28.66 KiB) Προβλήθηκε 371 φορές

Τα αντίστοιχα στοιχεία φαίνονται και στο σχήμα αυτό.

Οι γεωμετρικοί τόποι προκύπτουν μεταβάλλοντας αντίστοιχα τα μεγέθη $\displaystyle{a}$ και $\displaystyle{h}$ .

Η μεταβολή του $\displaystyle{a}$ δίνει δυο παράλληλες ευθείες ενώ η μεταβολή του $\displaystyle{h}$ δίνει δυο καμπύλες

που διαγράφουν αντίστοιχα τα δυο σημεία των ακροτάτων.

Παραθέτω και τις διευθύνσεις των δυναμικών αρχείων για καλύτερη εποπτεία!

1ο Σχήμα https://www.geogebra.org/m/cb2kqkvn

2ο Σχήμα https://www.geogebra.org/m/psjyyh8c

Κώστας Δόρτσιος

Ακρότατα εμβαδού

Ακρότατα εμβαδού

Re: Ακρότατα εμβαδού

Re: Ακρότατα εμβαδού

Re: Ακρότατα εμβαδού

Μέλη σε σύνδεση