Διπλάσια γωνία 12

KARKAR · #1

: Διπλάσια γωνία 12.png (17.36 KiB) Προβλήθηκε 294 φορές

Ο κύκλος

εφάπτεται στην πλευρά

του τετραγώνου ABCD

, στο σημείο

και στην

προέκταση της

, στο σημείο

. Φέρω το εφαπτόμενο τμήμα

. Δείξτε ότι : $\omega = 2\theta$ .

Μπορεί αυτό το "σχηματικό συγκρότημα" να κατασκευασθεί , με τρόπο ώστε : DT=TS

;

Έγινε τροποποίηση της εκφώνησης με υπόδειξη του Γιώργου Βισβίκη .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 08, 2024 2:18 pm
Διπλάσια γωνία 12.pngΟ κύκλος εφάπτεται στην πλευρά του τετραγώνου , στο σημείο και στην

προέκταση της , στο σημείο . Φέρω και το εφαπτόμενο τμήμα . Αν : :

Δείξτε ότι : $\omega = 2\theta$ . Μπορεί αυτό το σχηματικό συγκρότημα να κατασκευασθεί ;

Τα τετράπλευρα με γκρίζο και πράσινο σκίασμα είναι τετράγωνα .

Αξιοποιώντας την ισότητα γωνιών υπό χορδών και εφαπτομένων προκύπτει ότι το $\vartriangle DFT$ είναι ισοσκελές

: Διπλάσια γωνία 12.png (33.87 KiB) Προβλήθηκε 259 φορές

άρα όμοιο με το $\vartriangle OSE$ λόγω ισότητας των θαλασσί γωνιών .

Έτσι $\widehat {\omega _{}^{}} = \widehat {SOE} = 2\widehat \theta$

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 08, 2024 2:18 pm
Διπλάσια γωνία 12.pngΟ κύκλος εφάπτεται στην πλευρά του τετραγώνου , στο σημείο και στην

προέκταση της , στο σημείο . Φέρω το εφαπτόμενο τμήμα . Δείξτε ότι : $\omega = 2\theta$ .

Μπορεί αυτό το "σχηματικό συγκρότημα" να κατασκευασθεί , με τρόπο ώστε : ;

Έγινε τροποποίηση της εκφώνησης με υπόδειξη του Γιώργου Βισβίκη .

: Γωνία 12.png (15.23 KiB) Προβλήθηκε 216 φορές

Οι γωνίες $T\widehat DC=\omega$ και $T\widehat ON=2\theta$ είναι ίσες ως οξείες με πλευρές κάθετες.

Το δεύτερο ερώτημα υπό διερεύνηση.

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 08, 2024 2:18 pm
Διπλάσια γωνία 12.pngΟ κύκλος εφάπτεται στην πλευρά του τετραγώνου , στο σημείο και στην

προέκταση της , στο σημείο . Φέρω το εφαπτόμενο τμήμα . Δείξτε ότι : $\omega = 2\theta$ .

Μπορεί αυτό το "σχηματικό συγκρότημα" να κατασκευασθεί , με τρόπο ώστε : ;

Έγινε τροποποίηση της εκφώνησης με υπόδειξη του Γιώργου Βισβίκη .

Για το δεύτερο ερώτημα, το σχήμα δεν μπορεί να κατασκευαστεί γεωμετρικά. Μπορούμε όμως να υπολογίσουμε

προσεγγιστικά το λόγο $\displaystyle \frac{r}{a},$ όπου

η ακτίνα του κύκλου και

η πλευρά του τετραγώνου ABCD.

Φέρνω την

Είναι $\displaystyle \frac{a}{{DF}} = \cos \theta = \frac{x}{{2r}} \Leftrightarrow DF = \frac{{2ar}}{x}$ και με Π.Θ $\displaystyle D{F^2} = {r^2} + 2ar + 2{a^2}.$

: Γωνία 12.β.png (16.97 KiB) Προβλήθηκε 190 φορές

Εφαρμόζω διαδοχικά το Θεώρημα Πτολεμαίου στο ισοσκελές τραπέζιο DFST

και νόμο συνημιτόνου στο TDS:

$\displaystyle \frac{{2ar}}{x} \cdot x + {x^2} = {r^2} + 2ar + 2{a^2} \Leftrightarrow$ $\boxed{x^2=r^2+2ar}$ (1)

$\displaystyle {r^2} + 2ar + 2{a^2} = 2{x^2}(1 - \sin \theta )$ και με απαλοιφή του

από την

και $\displaystyle \sin \theta = \frac{{\sqrt {4{r^2} - {x^2}} }}{{2r}},$ καταλήγω

στην εξίσωση $\displaystyle {r^3} + 2a{r^2} + 2{a^2}r = ({r^2} + 2{a^2})\left( {2r - \sqrt {3{r^2} - 2{a^2}} } \right),$ απ' όπου παίρνω την προσεγγιστική

λύση $\boxed{\frac{r}{a}\simeq 0,836904}$

Διπλάσια γωνία 12

Διπλάσια γωνία 12

Re: Διπλάσια γωνία 12

Re: Διπλάσια γωνία 12

Re: Διπλάσια γωνία 12

Μέλη σε σύνδεση