Δι-αγωνία

KARKAR · #1

: Δι-αγωνία.png (14.76 KiB) Προβλήθηκε 336 φορές

Στο κυρτό τετράπλευρο του σχήματος , ας προσπαθήσουμε να απαντήσουμε στα εξής :

α) Όταν η μία διαγώνιος αυξάνει η άλλη μειώνεται ;

β) Πότε οι δύο διαγώνιοι θα γίνουν ίσες ;

γ) Πότε θα μεγιστοποιηθεί το άθροισμα των δύο διαγωνίων ;

Ιάσων Κωνσταντόπουλος · #2

Θεωρούμε ένα ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων ώστε A(-c,0),C(c,0)

με

.
Από την τριγωνική ανισότητα θα έχουμε 2c< AB+BC=15

.
Το

θα είναι σημείο τομής των κύκλων $\begin{cases}(x+c)^2+y^2=7^2\\(x-c)^2+y^2=8^2\end{cases}$
Επειδή y_B>0

βρίσκουμε $B\left(-\frac{15}{4c},\frac{1}{4}\sqrt{904-\frac{225}{c^2}-16c^2}\right)$ .
Το D(x_D,y_D)

θα είναι σημείο τομής των κύκλων $\begin{cases}(x+c)^2+y^2=6^2\\(x-c)^2+y^2=9^2\end{cases}$
Επειδή y_D < 0

βρίσκουμε $D\left(-\frac{45}{4c},-\frac{1}{4}\sqrt{936-\frac{2025}{c^2}-16c^2}\right)$ .
Επειδή το ABCD

είναι κυρτό, οι διαγώνιοι AC,BD

θα τέμνονται σε εσωτερικό τους σημείο. Από αυτό βρίσκουμε $c>\frac{9}{2}\sqrt{\frac{5}{13}}\approx 2.79078$ .
Για $c=\frac{9}{2}\sqrt{\frac{5}{13}}$ τα σημεία A,B,D

είναι συνευθειακά ενώ για $c<\frac{9}{2}\sqrt{\frac{5}{13}$ το τετράπλευρο δεν είναι κυρτό.
Στη συνέχεια ορίζουμε $f(c)\colon = d(B,D)=...=\sqrt{115-\frac{675}{8c^2}-2c^2+\frac{1}{8}\sqrt{904-\frac{225}{c^2}-16c^2}\sqrt{936-\frac{2025}{c^2}-16c^2}}$ , $c\in I$ όπου $I=\left(\frac{9}{2}\sqrt{\frac{5}{13}},\frac{15}{2}\right)$ .

Σε αυτό το σημείο μπορούμε να μεταφράσουμε τα ερωτήματα του προβλήματος σε ερωτήματα για την

.
Ερώτημα #1: Είναι η

γνησίως φθίνουσα;
Ερώτημα #2: Να μελετηθεί η εξίσωση f(c)=2c

Ερώτημα #3: Να βρεθεί το ολικό μέγιστο της συνάρτησης $g(c)\colon = f(c)+2c$

Απάντηση στο #1
Με επίπονες, αλλά απλές πράξεις, βρίσκουμε ότι η εξίσωση $f^\prime(c)=0$ δεν έχει λύση στο διάστημα

αν και αξίζει να σημειωθεί ότι $\lim\limits_{c\to\frac{9}{2}\sqrt{\frac{5}{13}}}f^{\prime}(c)=0$ .
$\Rightarrow$ η $f^\prime$ διατηρεί πρόσημο στο

(θεώρημα Darboux)
$\Rightarrow$ η

είναι γνησίως μονότονη και μάλιστα φθίνουσα αφού $\lim\limits_{c\to\frac{9}{2}\sqrt{\frac{5}{13}}}f(c)=13$ και $\lim\limits_{c\to\frac{15}{2}}f(c)=1$

Απάντηση στο #2
Η ισότητα f(c)=2c

συνεπάγεται P(c^2)=0

όπου

. Υπάρχει μοναδική επιτρεπτή τιμή για το

για την οποία έχουμε $c\approx 5.266$ . Η τιμή αυτή μπορεί να εκφραστεί σε κλειστή μορφή: $c=\sqrt{\frac{115}{12}+\frac{56}{3}\cos\big({\frac{1}{3}\arccos(\frac{85}{112})}\big)}$

Απάντηση στο #3
Η

παρουσιάζει ολικό μέγιστο στο εσωτερικό του διαστήματος

. Πιο συγκεκριμένα με απλές αλλά επίπονες πράξεις μπορούμε να δείξουμε ότι η ισότητα $g^{\prime} (c)=0$ συνεπάγεται ότι το c^2

είναι ρίζα της εξίσωσης Q(x)=0

όπου

Υπάρχει μοναδική αποδεκτή τιμή για το

, την οποία θα συμβολίσουμε με $c_{\max}$ , για την οποία έχουμε $c_{\max}\approx5.44583$ $\blacksquare$

Σημείωση: Μερικές γεωμετρικές συνθήκες που οδηγούν σε τιμές για το

που έχουν κάποια εγγύτητα με την τιμή $c_{\max}$ είναι οι εξής:
i) $\angle ABC=90^o$ για $c=\frac{\sqrt{113}}{2}\approx 5.31507$
ii) $\angle ADC=90^o$ για $c=\frac{3\sqrt{13}}{2}\approx 5.40833$
iii) ABCD

εγγράψιμο για $c=\frac{3}{2}\sqrt{\frac{703}{55}}\approx 5.36275$

Η προαναφερθείσα εγγύτητα ήταν τέτοια ώστε ατενίζοντας το σχήμα κατά την ανάλυση του προβλήματος, υπήρξε έστω και βραχυπρόθεσμα η ελπίδα/υποψία ότι το $c_{\max}$ λαμβάνεται όταν ισχύει μια από αυτές τις συνθήκες, αλλά φευ...

Δι-αγωνία

Δι-αγωνία

Re: Δι-αγωνία (CAS assisted)

Μέλη σε σύνδεση