Δυσκολία και εικασία

KARKAR · #1

: Δυσκολία και υποψία.png (16.17 KiB) Προβλήθηκε 549 φορές

Με τα σημεία S , T

χωρίσαμε την σταθερού μήκους υποτείνουσα

, ενός - μεταβλητών κάθετων πλευρών -

ορθογωνίου τριγώνου ABC

, σε τμήματα : CS=3 , ST=4 , TB=5

. Πως πρέπει να σχεδιαστεί

το τρίγωνο αυτό , ώστε : $\phi = \theta$ ; Εικασία : στην θέση αυτή , έχουμε μεγιστοποίηση της γωνίας $\omega$ .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 21, 2023 6:15 pm
Δυσκολία και υποψία.pngΜε τα σημεία χωρίσαμε την σταθερού μήκους υποτείνουσα , ενός - μεταβλητών κάθετων πλευρών -

ορθογωνίου τριγώνου , σε τμήματα : . Πως πρέπει να σχεδιαστεί

το τρίγωνο αυτό , ώστε : $\phi = \theta$ ; Εικασία : στην θέση αυτή , έχουμε μεγιστοποίηση της γωνίας $\omega$ .

Αν οι συντεταγμένες του

είναι

τότε αφού

, έπεται ότι οι συνταταγμένες του $C(0, \sqrt {12^2-b^2} )$ . Επίσης από το Θεώρημα του Θαλή έπεται ότι είναι

$\displaystyle{ T \left ( \frac {3}{12} b, \frac {9}{12} \sqrt {12^2-b^2 }\right ) , \, S \left ( \frac {7}{12} b, \frac {5}{12} \sqrt {12^2-b^2 }\right ) }$

Άρα $\tan \theta = \dfrac { \frac {5}{12} \sqrt {12^2-b^2 }}{\frac {7}{12} b}$ και $\tan \phi = \cot (90-\phi) = \dfrac {\frac {3}{12} b}{ \frac {9}{12} \sqrt {12^2-b^2 }}$

H συνθήκη $\theta = \phi$ δίνει $\dfrac { \frac {5}{12} \sqrt {12^2-b^2 }}{\frac {7}{12} b} = \dfrac {\frac {3}{12} b}{ \frac {9}{12} \sqrt {12^2-b^2 }}$ .

Λύνοντας μία δευτεροβάθμια θα βρούμε $b = \dfrac {6}{11} \sqrt {330}$ .

abgd · #3

Η εικασία είναι αληθής αν και μόνο αν το μέγιστο της γωνίας $\displaystyle{\omega}$ επιτυγχάνεται όταν $\displaystyle{\phi =\theta}$

: isotita max.png (33.96 KiB) Προβλήθηκε 452 φορές

Έστω $\displaystyle{K, M}$ οι προβολές των $\displaystyle{S, T}$ στις πλευρές $\displaystyle{b, c}$ του τριγώνου $\displaystyle{ABC}$ .

Από το θεώρημα του Θαλή έχουμε: $\displaystyle{AK=\frac{9}{12}b, \ \ AM=\frac{7}{12}c, \ \ SK= \frac{3}{12}c,\ \ TM=\frac{5}{12}b}$

Αν $\displaystyle{\frac{b}{c}=x}$

$\displaystyle{\tan{\phi}=\frac{1}{3x}}, \ \ \tan{\theta}=\frac{5x}{7}}$ οπότε $\displaystyle{\tan{(\phi+\theta)}=...=\frac{15x^2+7}{16x}}=f(x)}$

Η συνάρτηση $\displaystyle{f}$ έχει ελάχιστο όταν $\displaystyle{x=\sqrt{\frac{7}{15}}}$

Για $\displaystyle{x=\sqrt{\frac{7}{15}}}$ είναι: $\displaystyle{\tan{\phi}=\tan{\theta}=\sqrt{\frac{5}{21}}}$

Άρα η γωνία $\displaystyle{\omega}$ γίνεται μέγιστη αν και μόνο αν $\displaystyle{\phi=\theta}$ και, με τη βοήθεια του πυθαγορείου θεωρήματος....

$\displaystyle{b=\frac{6}{11}\sqrt{154}}$ .

S.E.Louridas · #4

Και μόνο για λόγους πολυφωνίας ας δούμε και την διαπραγμάτευση:
viewtopic.php?f=62&t=74902

Δυσκολία και εικασία

Δυσκολία και εικασία

Re: Δυσκολία και εικασία

Re: Δυσκολία και εικασία

Re: Δυσκολία και εικασία

Μέλη σε σύνδεση