Οριζόντια από κάθετες

KARKAR · #1

: Οριζόντια από κάθετες.png (7.86 KiB) Προβλήθηκε 1570 φορές

Θέμα της κατηγορίας : "Όποιος δεν έχει βάσανα " : Το

είναι το μέσο του τμήματος

και το

του

.

Στο ημικύκλιο διαμέτρου

κινούνται σημεία S , T

, ώστε : $OS \perp OT$ . Οι CT , CS

, ξανατέμνουν

το τόξο στα σημεία P , Q

. Υπάρχει περίπτωση να βρεθεί συνθήκη τέτοια , ώστε να είναι : $PQ \parallel AB$ ;

Αν βρείτε την συνθήκη , επιβεβαιώστε ή καταρρίψτε την εικασία ότι : $\tan\theta= \dfrac{1}{9}$ .

#2

Δεν υπάρχει λόγος να μην γίνεται, αλλά στο λογισμικό μου (WolframAlpha) 'δεν χωράει':

Θέτοντας $O=(0,0), A=(-1,0), B=(1,0), C=(3,0), P=(-p, \sqrt{1-p^2}), Q= (p, \sqrt{1-p^2}),$ καταλήγω στις

$T=\left(\dfrac{3(1-p^2)+\sqrt{9p^4+60p^3+118p^2+60p+9}}{10+6p},\dfrac{\sqrt{1-p^2}}{3+p}\cdot\dfrac{3(p+3)^2-\sqrt{9p^4+60p^3+118p^2+60p+9}}{10+6p}\right)$

και

$S=\left(\dfrac{3(1-p^2)-\sqrt{9p^4-60p^3+118p^2-60p+9}}{10-6p},\dfrac{\sqrt{1-p^2}}{3-p}\cdot\dfrac{3(p-3)^2+\sqrt{9p^4-60p^3+118p^2-60p+9}}{10-6p}\right)$

Από εδώ και πέρα η ζητούμενη καθετότητα των OT, OS

ανάγεται σε μία εξίσωση ως προς

(μέσω μηδενισμού εσωτερικού γινομένου) ... την οποία το λογισμικό μου 'δεν καταλαβαίνει' -- αν μπορεί κάποιος ας μας την λύσει...

#3

Εχουμε νεώτερα από το WolframAlpha ... και, ως φαίνεται -- και δίνει 'πιο κάτω' το λογισμικό -- λύση ΑΚΡΙΒΩΣ για $p=\dfrac{5}{\sqrt{41}}\approx 0,78$ !!!

: παραλληλία-στο-πέντε-δια-τετραγωνική-ρίζα-σαράντα-ένα.png (116.57 KiB) Προβλήθηκε 1348 φορές

#4

gbaloglou έγραψε: ↑
Τρί Οκτ 03, 2023 3:23 am
Εχουμε νεώτερα από το WolframAlpha ... και, ως φαίνεται -- και δίνει 'πιο κάτω' το λογισμικό -- λύση ΑΚΡΙΒΩΣ για $p=\dfrac{5}{\sqrt{41}}\approx 0,78$ !!!

Πράγματι ... $P=\left(-\dfrac{5}{\sqrt{41}},\dfrac{4}{\sqrt{41}}\right),$ $Q=\left(\dfrac{5}{\sqrt{41}},\dfrac{4}{\sqrt{41}}\right),$ $S=\left(\dfrac{3-\sqrt{41}}{10}, \dfrac{3+\sqrt{41}}{10}\right),$ $T=\left(\dfrac{\sqrt{41}+3}{10},\dfrac{\sqrt{41}-3}{10}\right)$

[Και, μια και το ρώτησες και αυτό, αγαπητέ Θανάση ... όντως από Νόμο Συνημιτόνων στο CPQ

προκύπτει η $cos\theta=\dfrac{9}{\sqrt{82}}$ ... οπότε, ΝΑΙ, $tan\theta=\dfrac{1}{9}$

]

#5

gbaloglou έγραψε: ↑
Τρί Οκτ 03, 2023 4:28 am

gbaloglou έγραψε: ↑
Τρί Οκτ 03, 2023 3:23 am
Εχουμε νεώτερα από το WolframAlpha ... και, ως φαίνεται -- και δίνει 'πιο κάτω' το λογισμικό -- λύση ΑΚΡΙΒΩΣ για $p=\dfrac{5}{\sqrt{41}}\approx 0,78$ !!!
Πράγματι ... $P=\left(-\dfrac{5}{\sqrt{41}},\dfrac{4}{\sqrt{41}}\right),$ $Q=\left(\dfrac{5}{\sqrt{41}},\dfrac{4}{\sqrt{41}}\right),$ $S=\left(\dfrac{3-\sqrt{41}}{10}, \dfrac{3+\sqrt{41}}{10}\right),$ $T=\left(\dfrac{\sqrt{41}+3}{10},\dfrac{\sqrt{41}-3}{10}\right)$

[Και, μια και το ρώτησες και αυτό, αγαπητέ Θανάση ... όντως από Νόμο Συνημιτόνων στο προκύπτει η $cos\theta=\dfrac{9}{\sqrt{82}}$ ... οπότε, ΝΑΙ, $tan\theta=\dfrac{1}{9}$ ]

Και όμως αγαπητέ Θανάση ... αυτό το καίριο υποερώτημα σου (περί ... $tan\theta=1/9$ ) ... έχει και δεύτερη λύση (η οποία δεν δουλεύει για το κύριο ερώτημα σου): αυτό το είχα αντιληφθεί -- ή μάλλον απλώς υποπτευθεί -- αφ' ενός μεν λόγω της 'παραμελημένης' λύσης $p=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ (βλέπε δημοσίευση #3 παραπάνω), αφ' ετέρου δε λόγω ενός 'προσεγγιστικού' σχήματος που προέκυψε: φοβόμουν τις πράξεις κλπ, άρχισα να το ξεχνάω και να το βαριέμαι, χθες βράδυ είπα "ή τώρα ή ποτέ" ... και το παράτησα αποθαρρυμένος από τα λαθάκια μου ... πλην όμως επανήλθα τώρα δριμύτερος, είπα να χρησιμοποιήσω το WolframAlpha 'περισσότερο', να το βάλω πραγματικά να δουλέψει για μένα, και ΟΝΤΩΣ η $p=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ οδηγεί στις $S'\approx (0,917742, 0,397177)$ και $T'\approx (-0,186035, 0,982543)$ , που δίνουν $T'CS'\approx 0,1107$ ... ενώ $arctan(1/9)\approx 0,110657$

$P'=\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}},\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right), Q'=\left(-\dfrac{1}{\sqrt{2}},\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right), S'=\left(\dfrac{15+16\sqrt{2}}{41},\dfrac{20\sqrt{2}-12}{41}\right), T'=\left(\dfrac{15-16\sqrt{2}}{41},\dfrac{20\sqrt{2}+12}{41}\right)$

[Όπως ήδη υπαινίχθηκα, και όπως δείχνει καθαρά και το συνημμένο, η T'OS'

δεν είναι ορθή.]

: arctan-1-9.png (9.99 KiB) Προβλήθηκε 1258 φορές

Οριζόντια από κάθετες

Οριζόντια από κάθετες

Re: Οριζόντια από κάθετες

Re: Οριζόντια από κάθετες

Re: Οριζόντια από κάθετες

Re: Οριζόντια από κάθετες

Μέλη σε σύνδεση