Υψοφοβία

KARKAR · #1

: Υψοφοβία.png (7.01 KiB) Προβλήθηκε 622 φορές

Να κατασκευαστεί τρίγωνο ABC

, ώστε αν AD , BE , CZ

τα ύψη του ,

να είναι : BD=1 , CE=2 , AZ=3

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 09, 2022 10:31 am
Υψοφοβία.pngΝα κατασκευαστεί τρίγωνο , ώστε αν τα ύψη του ,

να είναι : .

Από τα όμοια τρίγωνα ABD, BCZ

και κυκλικά, έχουμε $\dfrac {c}{1}= \dfrac {a}{c-3}$ και $\dfrac {a}{2}= \dfrac {b}{a-1}$ και $\dfrac {b}{3}= \dfrac {c}{b-2}$ .

Πρόκειται για σύστημα τριών εξισώσεων με τρεις αγνώστους. Οδηγεί σε εξίσωση ογδόου βαθμού για τις μεταβλητές. Δύο λύσεις είναι οι a=b=c=0

και $a=-2,\, b=3,\, c=1$ που απορρίπτονται. Οδηγούμεστε έτσι σε εξίσωση έκτου βαθμού. Φυσικά δεν έκανα τον κόπο αλλά το λογισμικό μου έβγαλε λύσεις $a=3,5637913823285063,\, b=4,56840881721521,\, c=3,9111804954366365$ .

Τάδε έφη ο από μηχανής θεός, από κει κει πέρα, δεν προχωρώ...

Φυσικά, οι γεωμετρικές λύσεις προτιμητέες.

#3

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 09, 2022 11:46 am
Τάδε έφη ο από μηχανής θεός, από κει κει πέρα, δεν προχωρώ...

Φυσικά, οι γεωμετρικές λύσεις προτιμητέες.

Μα δεν υπάρχουν γεωμετρικές (με κανόνα και διαβήτη) λύσεις.

Αν κάνουμε τις πράξεις (ή βάλουμε τον υπολογιστή να μας τις κάνει) βρίσκουμε ότι το

είναι ρίζα του x^6-6x^5+10x^4-43x^2+134x-144

. Ο υπολογιστής μας λέει ότι το συγκεκριμένο πολυώνυμο είναι ανάγωγο, άρα το

έχει βαθμό

υπέρ του $\mathbb{Q}$ . Άρα δεν μπορεί να είναι κατασκευάσιμος αριθμός. (Κάθε κατασκευάσιμος αριθμός έχει βαθμό 2^n

για κάποιο μη αρνητικό ακέραιο

.)

Υψοφοβία

Υψοφοβία

Re: Υψοφοβία

Re: Υψοφοβία

Μέλη σε σύνδεση