Εντυπωσιακή σταθερότητα

#1

Το

είναι το βαρύκεντρο ισοπλεύρου τριγώνου ABC

πλευράς

Το σημείο

κινείται σε σταθερό κύκλο

κέντρου

και ακτίνας

Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου με πλευρές τα τμήματα MA, MB, MC.

#2

Έστω

η γωνία των MG, GA

. Θέτω

και

Είναι, από νόμο συνημιτόνων: ( στο σχήμα μου έχω το Μ πάνω αριστερά, αλλά δεν παίζει ρόλο)

MA^2=D-Bcosf, MB^2=D-Bcos(120^o-f), MC^2=D-Bcos(120^o+f)

Από τον τύπο του Ήρωνα, ή με οποιοδήποτε άλλο τρόπο, το τρίγωνο με πλευρές a=MA, b=MB,c=MC

έχει εμβαδόν

με

Αντικαθιστούμε, κρατάμε την ψυχραιμία μας και μια κόλλα Α4, και προκύπτει το απλό

16E^2=3D^2-3B^2

Αντικατάσταση των D, B

και με δεδομένο ότι 3R^2=a^2

έπεται το ζητούμενο.

#3

Σ' ευχαριστώ Κώστα για τη λύση

Με τον ίδιο τρόπο ξεκίνησα κι εγώ, αλλά στη συνέχεια παγιδεύτηκα με τον Leibniz και δεν έβγαλα άκρη.

#4

Να είσαι καλά Γιώργο!

Να ξεσκουριάζουμε!!