Ουρανοκατέβατη μεγιστοποίηση

KARKAR · #1

: Ουρανοκατέβατη μεγιστοποίηση.png (12.11 KiB) Προβλήθηκε 624 φορές

Σε κύκλο

θεωρούμε σταθερό σημείο

και κινητό σημείο

. Φέρω τμήμα

κάθετο στην ευθεία

και έστω

ένα σημείο της

, τέτοιο ώστε : $BS=\dfrac{BC}{3}$ .

Υπολογίστε την μέγιστη τιμή του τμήματος

και την θέση του

, όταν αυτό συμβεί .

Μήπως παρατηρείτε κάτι το αναπάντεχο ;

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 07, 2019 1:25 pm
Ουρανοκατέβατη μεγιστοποίηση.pngΣε κύκλο θεωρούμε σταθερό σημείο και κινητό σημείο . Φέρω τμήμα

κάθετο στην ευθεία και έστω ένα σημείο της , τέτοιο ώστε : $BS=\dfrac{BC}{3}$ .

Υπολογίστε την μέγιστη τιμή του τμήματος και την θέση του , όταν αυτό συμβεί .

Μήπως παρατηρείτε κάτι το αναπάντεχο ;

Έστω

: Ουρανοκατέβατη μεγιστοποίηση.png (15.53 KiB) Προβλήθηκε 590 φορές

$\displaystyle C{B^2} = 2R \cdot CA \Leftrightarrow CA = \frac{{9{x^2}}}{{2R}}$ και με νόμο συνημιτόνων στο ACS

όπου $\cos \theta = \dfrac{{3x}}{{2R}}:$

$\displaystyle A{S^2} = 4{x^2} + \frac{{81{x^4}}}{{4{R^2}}} - 4x \cdot \frac{{9{x^2}}}{{2R}} \cdot \frac{{3x}}{{2R}} = - \frac{{27{x^4}}}{{4{R^2}}} + 4{x^2} = - {\left( {\frac{{3{x^2}\sqrt 3 }}{{2R}} - \frac{{4R\sqrt 3 }}{9}} \right)^2} + {\left( {\frac{{4R\sqrt 3 }}{9}} \right)^2}$

Άρα, $\displaystyle A{S^2} \le {\left( {\frac{{4R\sqrt 3 }}{9}} \right)^2} \Leftrightarrow$ $\boxed{ A{S_{\max }} = \frac{{4R\sqrt 3 }}{9}}$ όταν $\displaystyle \frac{{3{x^2}\sqrt 3 }}{{2R}} = \frac{{4R\sqrt 3 }}{9} \Leftrightarrow$ $\boxed{ BC =3x= \frac{{2R\sqrt 6 }}{3}}$

Παρατηρούμε πως στην περίπτωση του μέγιστου είναι $AS\bot BC.$

Ουρανοκατέβατη μεγιστοποίηση

Ουρανοκατέβατη μεγιστοποίηση

Re: Ουρανοκατέβατη μεγιστοποίηση

Μέλη σε σύνδεση