Μέγιστο σε έλλειψη

#1

Καλησπέρα σε όλους και Χρόνια Πολλά κι ευτυχισμένα! Στο παρακάτω θέμα το οποίο προέκυψε αναζητώντας κάτι άλλο, έχω απόδειξη, αλγεβρική (με διακρίνουσα). Αναζητώ κομψότερη απόδειξη και τις γνώσεις σας αν περιέχεται σε κάποια συλλογή. Ίσως να είναι κάτι γνωστό, ή κάτι προφανές που τώρα δεν το βλέπω!

Να αποδειχθεί ότι η απόσταση του κέντρου O(0,0)

έλλειψης με εξίσωση $\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ από ευθεία σταθερής κλίσης $\lambda$ , που διέρχεται από σημείο της

, γίνεται μέγιστη όταν η ευθεία είναι εφαπτομένη της έλλειψης. (Η περίπτωση της κατακόρυφης ευθείας είναι τετριμμένη)

#2

Γιώργος Ρίζος έγραψε: ↑
Τρί Ιαν 01, 2019 6:33 pm
Καλησπέρα σε όλους και Χρόνια Πολλά κι ευτυχισμένα! Στο παρακάτω θέμα το οποίο προέκυψε αναζητώντας κάτι άλλο, έχω απόδειξη, αλγεβρική (με διακρίνουσα). Αναζητώ κομψότερη απόδειξη και τις γνώσεις σας αν περιέχεται σε κάποια συλλογή. Ίσως να είναι κάτι γνωστό, ή κάτι προφανές που τώρα δεν το βλέπω!

Να αποδειχθεί ότι η απόσταση του κέντρου έλλειψης με εξίσωση $\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ από ευθεία σταθερής κλίσης $\lambda$ , που διέρχεται από σημείο της , γίνεται μέγιστη όταν η ευθεία είναι εφαπτομένη της έλλειψης. (Η περίπτωση της κατακόρυφης ευθείας είναι τετριμμένη)

Χρόνια Πολλά σε όλους!

Δεν ξέρω αν αυτό που θα γράψω αποτελεί απόδειξη.

: Μέγιστο σε έλλειψη.png (17.14 KiB) Προβλήθηκε 941 φορές

Αν η ευθεία τέμνει την έλλειψη στα σημεία M, N

τότε το ευθύγραμμο τμήμα

είναι εσωτερικό της έλλειψης (εξαιρουμένων

των άκρων του) κι επειδή οι γωνίες $\displaystyle N\widehat MO,M\widehat NO$ είναι οξείες, η απόσταση του κέντρου της έλλειψης από την ευθεία θα είναι

το ύψος

του τριγώνου OMN,

με

εσωτερικό του

άρα και της έλλειψης.Αν όμως η ευθεία εφάπτεται στην έλλειψη

τότε όλα τα σημεία της εκτός του σημείου επαφής θα είναι εξωτερικά της έλλειψης, οπότε η απόσταση

του κέντρου της έλλειψης

από την ευθεία θα είναι μεγαλύτερη από το τμήμα

(εννοείται ότι τα σημεία O, P, Q

είναι συνευθειακά).

#3

Καλησπέρα σε όλους. Ευχαριστώ τον Γιώργο για την άμεση και παραστατική απόδειξή του.

Η δική μου απόδειξη βασιζόταν στην αναγκαιότητα ύπαρξης διπλής ρίζας στην εξίσωση που προκύπτει από την επίλυση του συστήματος έλλειψης κι ευθείας. Με μια μικρή αναζήτηση εντόπισα σχεδόν ίδια πρόταση στη σχολική Αναλυτική Γεωμετρία των Βαρουχάκη κ.α. του 1983.

Το παραθέτω όπως είναι. Ομολογώ ότι δεν το θυμόμουν, αν και είχα προλάβει να χρησιμοποιήσω αυτή τη σειρά των βιβλίων ως φροντιστής, τότε.

: 02-1-2019 Γεωμετρία.jpg (62.81 KiB) Προβλήθηκε 890 φορές

Μέγιστο σε έλλειψη

Μέγιστο σε έλλειψη

Re: Μέγιστο σε έλλειψη

Re: Μέγιστο σε έλλειψη

Μέλη σε σύνδεση