Ελλείψει μεθόδου

KARKAR · #1

: Ελλείψει μεθόδου.png (17.77 KiB) Προβλήθηκε 1076 φορές

Οι κύκλοι έχουν εξισώσεις x^2+y^2=9

και

, ενώ η έλλειψη $\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{4}=1$

Καλούμαστε να σχεδιάσουμε ευθεία διερχόμενη από το A(-3,0)

και τέμνουσα κατά

σειρά τις τρεις κωνικές σε σημεία P,M,S

, ώστε το

να είναι το μέσο του

.

polysindos · #2

Αν $P\left ( k,\sqrt{4-k^{2}} \right )$

Η εξίσωση της ευθείας

είναι $\sqrt{4-k^{2}}x -\left ( k+3 \right )y=-3\sqrt{4-k^{2}}$

αντικαθιστώντας το

στην εξίσωση $x^{2}+y^{2}=9$

μετά τις πράξεις καταλήγουμε στην εξίσωση $(6k+13)x^{2}+6\left ( 4-k^{2} \right )x-(18k^{2}+54k+45)=0$

από το γινόμενο των ριζών έχουμε $-3x_{S}=-\dfrac{18k^{2}+54k+45}{6k+13}$

οπότε $x_{S}=\dfrac{6k^{2}+18k+15}{6k+13}$

κάνοντας το ίδιο στην έλλειψη έχουμε

$x_{M}=\dfrac{39k^{2}+72k}{-5k^{2}+24k+72}$

από την σχέση $x_{M}=\dfrac{x_{P}+x_{S}}{2}$

καταλήγουμε στην εξίσωση $60k^{4}+335k^{3}+345k^{2}-720k-1080=0$

k=1.484870567

KARKAR · #3

Αλλιώς : Η ευθεία έχει εξίσωση : $y=m(x+3) , 0<m<+\infty$ και λύνοντας τα συστήματα , βρίσκουμε

τις τετμημένες των σημείων τομής : $x_{P}=\dfrac{\sqrt{4-5m^2}-3m^2}{m^2+1} , x_{S}=\dfrac{3-3m^2}{m^2+1} , x_{M}=\dfrac{12-27m^2}{9m^2+4}$ .

Η απαίτηση $x_{M}=\dfrac{x_{P}+x_{S}}{2}$ , οδηγεί στην εξίσωση : $\dfrac{\sqrt{4-5m^2}+3-6m^2}{2(m^2+1)}=\dfrac{12-27m^2}{9m^2+4}$ ,

η οποία έχει τη θετική λύση m=0.29875

. Δεν "βλέπω" λύση ή κατασκευή χωρίς λογισμικό ...

Ελλείψει μεθόδου

Ελλείψει μεθόδου

Re: Ελλείψει μεθόδου

Re: Ελλείψει μεθόδου

Μέλη σε σύνδεση