Τρίγωνο εγγεγραμμένο σε έλλειψη

sakis1963 · #1

: GEOMETRIA96 Ελλειψη.png (23.25 KiB) Προβλήθηκε 1156 φορές

Καλημέρα,
κάπου βρήκα μια ωραία και την μοιράζομαι.

Σε έλλειψη με άξονες 2a, 2b

είναι εγγεγραμμένο τρίγωνο ABC

.
Αν τα μικτόγραμμα έγχρωμα εμβαδά S1, S2, S3

είναι ίσα, αποδείξτε ότι $(ABC)=\dfrac{3}{4}\sqrt{3}ab$

edit : Διόρθωσα το τυπογραφικό λάθος που τόχει και στην πηγή ( $\sqrt{3}ab$ και ΟΧΙ $\sqrt{3ab}$ ) για να'ναι και διαστατικά σωστά

#2

Το πρόβλημα "φωνάζει" για αφφινικό μετασχηματισμό(ομοπαραλληλικό, όπως τον ονόμαζε ο Ν. Στεφανίδης στο Μαθηματικό του ΑΠΘ).

Στέλνουμε την έλλειψη σε κύκλο ακτίνας $\displaystyle{a}$ και, λόγω των ίσων εμβαδών, το τρίγωνο σε ισόπλευρο, το οποίο θα έχει προφανώς εμβαδόν $\displaystyle{\frac{3\sqrt{3}}{4}a^2.}$ Με τον αντίστροφο μετασχηματισμό λαμβάνουμε το ζητούμενο.

#3

sakis1963 έγραψε: Καλημέρα,
κάπου βρήκα μια ωραία και την μοιράζομαι.

Σε έλλειψη με άξονες είναι εγγεγραμμένο τρίγωνο .
Αν τα μικτόγραμμα έγχρωμα εμβαδά είναι ίσα, αποδείξτε ότι $(ABC)=\dfrac{3}{4}\sqrt{3}ab$

edit : Διόρθωσα το τυπογραφικό λάθος που τόχει και στην πηγή ( $\sqrt{3}ab$ και ΟΧΙ $\sqrt{3ab}$ ) για να'ναι και διαστατικά σωστά

matha έγραψε:Το πρόβλημα "φωνάζει" για αφφινικό μετασχηματισμό(ομοπαραλληλικό, όπως τον ονόμαζε ο Ν. Στεφανίδης στο Μαθηματικό του ΑΠΘ).

Στέλνουμε την έλλειψη σε κύκλο ακτίνας $\displaystyle{a}$ και, λόγω των ίσων εμβαδών, το τρίγωνο σε ισόπλευρο, το οποίο θα έχει προφανώς εμβαδόν $\displaystyle{\frac{3\sqrt{3}}{4}a^2.}$ Με τον αντίστροφο μετασχηματισμό λαμβάνουμε το ζητούμενο.

Σάκη και Θάνο γεια σας από Γρεβενά.

Θα επιχειρήσω στο μήνυμα αυτό να υλοποιήσω την όμορφη ιδέα του λεγόμενου

στα ελληνικά "ομοπαραλληλικού μετασχηματισμού" (αφφινικού μετασχηματισμού)

Εργαζόμαστε στο ακόλουθο σχήμα:

: Αφφικός μετασχηματισμός 1.PNG (21.39 KiB) Προβλήθηκε 1079 φορές

Το πρόβλημα είναι να βρούμε εκείνο τον αφφινικό μετασχηματισμό που οδηγεί τη

δοθείσα έλλειψη σε κύκλο.

Οι τύποι ενός αφφινικού μετασχηματισμού $\displaystyle{f}$ είναι:

$\left.\begin{matrix} x=k_1x'+l_1y'+c_1\\ y=k_2x'+l_2y'+c_2 \end{matrix}\right\ \ \ (1)\ \ }$ , όπου $\displaystyle{k_1,k_2,l_1,l_2,c_1,c_2}$ έξι πραγματικές παράμετροι

και $\displaystyle{M(x,y)}$ , $\displaystyle{M_1(x',y')}$ δύο αντίστοιχα σημεία μέσω του μετασχηματισμού αυτού $\displaystyle{f}$ , δηλαδή $\displaystyle{f(M)=M_1}$ .

Έστω ακόμα ότι η εξίσωση της έλλειψης είναι η

$\displaystyle{\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1},\ \ (2)\ \ }$

Αν τώρα στην εξίσωση (2) θέσουμε τις τιμές από την (1) θα προκύψει η εξίσωση:

$\displaystyle{(k_1^2b^2+k_2^2a^2)x'^2+(l_1^2b^2+l_2^2a^2)y'^2+}$ \displaystyle{\displaystyle{2(k_1l_1b^2+k_2l_2a^2)x'y'+}} $\displaystyle{2(k_1c_1b^2+k_2c_2a^2)x'+2(l_1c_1b^2+l_2c_2a^2)y'+}$ $\displaystyle{c_1^2b^2+c_2^2a^2-a^2b^2=0}$ \ \ (3)

Η εξίσωση (3) για να εκφράζει κύκλο θα πρέπει να είναι:

$\displaystyle{k_1l_1b^2+k_2l_2a^2=0 \ \ (4)}$

και

$\displaystyle{k_1^2b^2+k_2^2a^2=l_1^2b^2+l_2^2a^2 \neq 0\ \ (5)}$

Από τις σχέσεις (4) και (5) προκύπτει:

$\displaystyle{k_1k_2=-l_1l_2 \ \ (6)}$

και σύμφωνα μ' αυτή προκύπτει:

$\displaystyle{\left.\begin{matrix} l_1=\displaystyle \frac{a}{b}k_2\\\\k_1=-\displaystyle \frac{a}{b}l_2 \end{matrix}\right\}$ ή $\displaystyle{\left.\begin{matrix} l_1=-\displaystyle \frac{a}{b}k_2\\\\k_1=\displaystyle \frac{a}{b}l_2 \end{matrix}\right\}$

Όποια από τις δύο τελευταίες σχέσεις χρησιμοποιήσουμε πετυχαίνουμε το ζητούμενο μετασχηματισμό.

Συμπερασματικά από τις έξι παραμέτρους της (1) έχουμε λόγω των τελευταίων σχέσεων ότι ελεύθερες

παράμετροι είναι τέσσερις, οι $\displaystyle{k_2, l_2, c_1,c_2}$ . Οι παράμετροι αυτές ελλαττώνονται αν απαιτησουμε

ο ζητούμενος κύκλος να έχει κάποια επιπλέον χαρακτηριστικά.

Στο σχήμα που ανάρτησα έγινε πιστή εφαρμογή των ανωτέρω θεωρώντας $\displaystyle{a=4, b=2}$ και με ελεύθερες

τις τέσσερις παραμέτρους.

Αναρτώ και το αντίστοιχο δυναμικό σχήμα.

Ομοπαραλληλικός Μετασχηματισμός.ggb: (7.64 KiB) Μεταφορτώθηκε 33 φορές

Κώστας Δόρτσιος

#4

Πολύ καλά τα είπαν ο Θάνος και ο Κώστας! Έτσι είναι τα πράγματα!

Θα καταγράψω δύο παρατηρήσεις ώστε να παρουσιάσω την δική μου οπτική.

1. Αρκεί ο μετασχηματισμός $x=\frac{a}{b}x',\,\,\,\, y=y'$ . Αυτός στέλνει την έλλειψη στον κύκλο κέντρου

και ακτίνας

.

2. To συμπέρασμα προκύπτει άμεσα αφού κάθε αφφινικός μετασχηματισμός διατηρεί τους λόγους των εμβαδών. ΄Έτσι αν R είναι η ακτίνα του κύκλου θα ισχύει $\dfrac{\pi ab}{(ABC)}=\dfrac{\pi R^2}{\dfrac{3\sqrt{3}}{4}R^2}\Rightarrow (ABC)= \frac{3\sqrt{3}}{4}ab$

#5

rek2 έγραψε:Πολύ καλά τα είπαν ο Θάνος και ο Κώστας! Έτσι είναι τα πράγματα!

Θα καταγράψω δύο παρατηρήσεις ώστε να παρουσιάσω την δική μου οπτική.

1. Αρκεί ο μετασχηματισμός $x=\frac{a}{b}x',\,\,\,\, y=y'$ . Αυτός στέλνει την έλλειψη στον κύκλο κέντρου και ακτίνας .

2. To συμπέρασμα προκύπτει άμεσα αφού κάθε αφφινικός μετασχηματισμός διατηρεί τους λόγους των εμβαδών. ΄Έτσι αν R είναι η ακτίνα του κύκλου θα ισχύει $\dfrac{\pi ab}{(ABC)}=\dfrac{\pi R^2}{\dfrac{3\sqrt{3}}{4}R^2}\Rightarrow (ABC)= \frac{3\sqrt{3}}{4}ab$

Κώστα καλησπέρα.

Ναι, η απλότητα της σκέψης και του συλλογισμού σου δίνει απάντηση άμεσα και ορθότατα.

Εξάλλου το χαρακτηριστικό αυτό σου το είπα κι αλλη φορά. Να είσαι καλά.

Για να συνεχίσω το θέμα θα ήθελα να αναφερθώ στον τρόπο με τον οποίο σε μια δοθείσα έλλειψη

μπορούμε να "κατασκευάσουμε" - να εγγράψουμε ένα τρίγωνο με τις ιδιότητες που αναφέρει ο Σάκης στην εκφώνηση του

του προβλήματος.

Σκεφτόμαστε στο σχήμα:

: Αφφινικός Μετασχηματισμός 1.PNG (30.46 KiB) Προβλήθηκε 999 φορές

Με δεδομένο την αρχική έλλειψη την οδηγούμε, όπως αναφέρθηκα στο πρώτο μου μήνυμα,

σε έναν κύκλο. Στον κύκλο αυτό κατασκευάζουμε ένα τυχαίο εγγεγραμμένο ισόπλευρο τρίγωνο το οποίο,

όπως φαίνεται και στο σχήμα, αφήνει εκτός του και εντός του κύκλου τρία ίσα κυκλικά

τμήματα(με κίτρινο χρώμα).

Αν τώρα εφαρμόσουμε τους τύπους (1) του πρώτου μου μηνύματος στις συντεταγμένες των σημείων $\displaystyle{D,E,Z}$

θα βρούμε τις συντεταγμένες των σημείων $\displaystyle{D_1,E_1,Z_1.}$

Προφανώς με το μετασχηματισμό αυτό τα τρία κυκλικά τμήματα θα απεικονιστούν στα αντίστοιχα

"ελλειπτικά τμήματα" , όπως δηλώνεται στο ανωτέρω σχήμα(με ανοιχτό κίτρινο χρώμα)

Τέλος επειδή κατά τον αφφινικό μετασχηματισμό ο λόγος των εμβαδών παραμένει, τα

τρία "ελλειπτικα τμήματα" είναι ισεμβαδικά.

Με τη διαδικασία αυτή κατασκευάστηκε το ανωτέρω σχήμα και αναρτώ και το δυναμικό

του σχήμα με οδηγίες.

Ομοπαραλληλικός Μετασχηματισμός1.ggb: (14.12 KiB) Μεταφορτώθηκε 23 φορές

Κώστας Δόρτσιος

sakis1963 · #6

: GEOMETRIA96 Ελλειψη 2.png (42.12 KiB) Προβλήθηκε 974 φορές

Καλησπέρα,
και σας ευχαριστώ που καταπιαστήκατε με το θέμα...

Στην "πηγή" ο λύτης ακολουθεί την λογική της "ορθής προβολής" που ταιριάζει με τη λύση του κ. Ρεκούμη (rek2) αν δεν κάνω λάθος.
Οι αναλύσεις (γενικεύσεις) βέβαια του κ. Δόρτσιου ξεπερνούν κάθε προσδοκία.

Φιλικά,
Θανάσης Καλογεράκης

Τρίγωνο εγγεγραμμένο σε έλλειψη

Τρίγωνο εγγεγραμμένο σε έλλειψη

Re: Τρίγωνο εγγεγραμμένο σε έλλειψη

Re: Τρίγωνο εγγεγραμμένο σε έλλειψη

Re: Τρίγωνο εγγεγραμμένο σε έλλειψη

Re: Τρίγωνο εγγεγραμμένο σε έλλειψη

Re: Τρίγωνο εγγεγραμμένο σε έλλειψη

Μέλη σε σύνδεση