Μια πρωτότυπη κατασκευή

sakis1963 · #1

: Triangle construction (antiparallel) mathematica.jpg (24.73 KiB) Προβλήθηκε 1005 φορές

Δίδονται στο επίπεδο χαρτί:

- Ευθύγραμμο τμήμα BC=a

, σταθερό κατά θέση και μέγεθος

- Ευθεία (e) (εκτός του

) παράλληλη στο

.

- Ευθεία (g) τέμνουσα της (e)

Ζητείται να βρεθεί με κανόνα και διαβήτη, σημείο

επί της (e),

τέτοιο ώστε (σε αναφορά με το τρίγωνο ABC

), η (g) να είναι αντιπαράλληλη της

σημειωση. το πρόβλημά μου αυτό, δημοσιεύτηκε στο Βιετναμέζικο "π journal" του Ιουνίου ως P820, στη στήλη "απαιτητικά προβλήματα"

#2

Έστω φ η γωνία των ΒC, g και Δ το συμμετρικό του Β, ως προς την e.

Η γωνία ΔΑC είναι 180 - φ, οπότε το Α προσδιορίζεται.

#3

sakis1963 έγραψε: ↑
Κυρ Ιουν 23, 2024 11:01 pm
Triangle construction (antiparallel) mathematica.jpgΔίδονται στο επίπεδο χαρτί:

- Ευθύγραμμο τμήμα , σταθερό κατά θέση και μέγεθος

- Ευθεία (e) (εκτός του ) παράλληλη στο .

- Ευθεία (g) τέμνουσα της (e)

Ζητείται να βρεθεί με κανόνα και διαβήτη, σημείο επί της (e),

τέτοιο ώστε (σε αναφορά με το τρίγωνο ), η (g) να είναι αντιπαράλληλη της

σημειωση. το πρόβλημά μου αυτό, δημοσιεύτηκε στο Βιετναμέζικο "π journal" του Ιουνίου ως P820, στη στήλη "απαιτητικά προβλήματα"

Έστω λυμένο το πρόβλημα . Τα σταθερά είναι το $BC = a\,,\,\,$ μια παράλληλη ευθεία $\left( e \right)$ προς τη

Και μια ευθεία $\left( g \right)$ πλάγια σταθερής κλήσης . Έστω

το σημείο τομής της ευθείας $\left( g \right)$ με την ευθεία

.

Ας πούμε $\theta$ τη σταθερή οξεία γωνία που σχηματίζουν. Τότε και η παραπληρωματική τους γωνία είναι σταθερή , $\omega = 180^\circ - \theta \,\,\left( 1 \right)$ .

Σταθερή είναι η μεσοκάθετη στο

που την τέμνει στο

την δε ευθεία $\left( e \right)$ τέμνει στο

.

Έστω ακόμα $D\,\,\kappa \alpha \iota \,\,E$ τα σημεία τομής της σταθερής $\left( g \right)$ με τις $AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AC$ . Το τετράπλευρο

DBCE

είναι εγγράψιμο γιατί η $\left( g \right)$ είναι αντιπαράλληλη της

.

: Πρωτότυπη Κατασκευή_4.png (26.01 KiB) Προβλήθηκε 835 φορές

Η γωνία $\theta$ είναι η διαφορά των γωνιών $B\,\,\kappa \alpha \iota \,\,C$ του $\vartriangle ABC$ με υπόθεση , B > C

. Δηλαδή : $\theta = B - C$ .

Ζητώ να κατασκευαστεί $\vartriangle ABC$ από τη βάση του $BC = a\,\,,$ το ύψος του ( απόσταση των , $BC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( g \right)$ ) και τη $\theta = B - C$ .

Έστω $P\,\,\kappa \alpha \iota \,\,J$ τα συμμετρικά των $A\,\,\kappa \alpha \iota \,\,B$ ως προς το

. Το τετράπλευρο ABPJ

είναι παραλληλόγραμμο .

$\widehat {BAJ} = \omega = 180^\circ - \theta$ , άρα το

προκύπτει ως τομή της ευθείας $\left( e \right)$ και τόξου χορδής

που δέχεται γωνία $\omega$ .

Παρατηρήσεις :

Το πρόβλημα υπάρχει σε πολλά βιβλία με ελαφρώς διαφορετική διατύπωση .

Στο πιο παλιό που έχω είναι του $G.\,Lemaire\,\,$ δεύτερη ελληνική έκδοση Βουδούρη .

Έχει τεθεί δε και στις εισαγωγικές Πολυτεχνείου Μαθηματικών κ. λ. π. το .

S.E.Louridas · #4

sakis1963 έγραψε: ↑
Κυρ Ιουν 23, 2024 11:01 pm
Δίδονται στο επίπεδο χαρτί:
- Ευθύγραμμο τμήμα , σταθερό κατά θέση και μέγεθος
- Ευθεία (e) (εκτός του ) παράλληλη στο .
- Ευθεία (g) τέμνουσα της (e)
Ζητείται να βρεθεί με κανόνα και διαβήτη, σημείο επί της (e),
τέτοιο ώστε (σε αναφορά με το τρίγωνο ), η (g) να είναι αντιπαράλληλη της

Καταρχάς συμφωνώ απόλυτα και με τις παρατηρήσεις του Νίκου Φραγκάκη.
Τελικά μετά από αμφιταλάντευση είπα να εκθέσω την ημέτερη άποψη και για λόγους πολυφωνίας
που είναι η ακόλουθη:

Αρκεί να ζητήσουμε την αντιπαράλληλη

στην ευθεία της πλευράς BC.

Ας θεωρήσουμε εδώ BP=b.

Τότε ο κύκλος

θα εφάπτεται στην (e)

και έτσι έχουμε
$\displaystyle{P{A^2} = b\left( {b - x} \right),\;\,\frac{{PA}}{\alpha } = \frac{{b - x}}{x},}$
οποτε καταλήγουμε στην εξίσωση:
$\displaystyle{{x^2} + \frac{{{\alpha ^2}}}{b}x = {\alpha ^2} \Leftrightarrow x\left( {x + \frac{{{\alpha ^2}}}{b}} \right) = {\alpha ^2},\;...}$

: contr..png (47.36 KiB) Προβλήθηκε 749 φορές

Μια πρωτότυπη κατασκευή

Μια πρωτότυπη κατασκευή

Re: Μια πρωτότυπη κατασκευή

Re: Μια πρωτότυπη κατασκευή

Re: Μια πρωτότυπη κατασκευή

Μέλη σε σύνδεση