Περιπέτεια

Συντονιστής: gbaloglou

Απάντηση
Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3521
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:
Επικοινωνία gbaloglou

Περιπέτεια

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Τετ Νοέμ 01, 2023 2:37 am

Μια και κάτι έγραψα εδώ περί αναλυτικής απόδειξης (και 'γενίκευσης') Ανισότητας Πτολεμαίου, ας το δούμε λίγο ... αν και η απόδειξη δεν έχει ολοκληρωθεί ... καθώς κάποια θέματα που τίθενται μπορεί να έχουν μεγαλύτερη αξία από την ίδια την απόδειξη ;)

Ας πάρουμε λοιπόν ένα συγκεκριμένο παράδειγμα, A=(0,1), B=(-2,0), C=(3,0), D=(x,y), οπότε η BC\cdot AD\leq AB\cdot CD+AC\cdot BD ανάγεται στην ανισότητα

5\cdot \sqrt{x^2+(y-1)^2}\leq \sqrt{5}\cdot\sqrt{(x-3)^2+y^2}+\sqrt{10}\cdot\sqrt{(x+2)^2+y^2},

η οποία ύστερα από δύο υψώσεις στο τετράγωνο καταλήγει στην ανισότητα

3(x^2+y^2)^2-33x^2+39y^2-10xy-6(x^2+y^2)x+10(x^2+y^2)y+36x-60y+108\geq 0.

Αντί να χρησιμοποιήσουμε Λογισμό δύο μεταβλητών, ας δούμε άλλες προσεγγίσεις, πχ το συνημμένο γράφημα της ανισότητας

3(x^2+y^2)^2-33x^2+39y^2-10xy-6(x^2+y^2)x+10(x^2+y^2)y+36x-60y+108>1,

όπου οι δύο τρυπούλες (μικροσκοπικές περιοχές αποτυχίας της ελάχιστα ενισχυμένης ανισότητας) μας οδηγούν στα σημεία μηδενισμού της παράστασης, (x,y)=(-2,0) και (x,y)=(3,0) -- σημεία που αναμενόμενα αντιστοιχούν στις D\equiv B και D\equiv C.

Δεν θα ήταν παράλογο λοιπόν να σκεφθούμε εδώ το 'γινόμενο' των δύο 'κύκλων μηδενικής ακτίνας', (x+2)^2+y^2=0 και (x-3)^2+y^2=0,

((x+2)^2+y^2)((x-3)^2+y^2)=0\leftrightarrow (x^2+y^2)^2-2(x^2+y^2)x-11x^2+13y^2+12x+36=0,

το οποίο πολλαπλασιαζόμενο επί 3 και προστιθέμενο στην 'μυστηριώδη' ποσότητα -10xy+10(x^2+y^2)y-60y μας δίνει την αρχική ανισότητα!

Τι είδους 'συμπεράσματα' προκύπτουν από όλα αυτά και πόσο/πως βοηθούν στην απόδειξη της Ανισότητας Πτολεμαίου;;;



two-variable-ptolemy-inequality-gtaph.png
two-variable-ptolemy-inequality-gtaph.png (58.31 KiB) Προβλήθηκε 3785 φορές


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Λέξεις Κλειδιά:
γράφημα
ανισότητα
Πτολεμαίος
Αναλυτικη
Κορυφή
Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3521
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:
Επικοινωνία gbaloglou

Re: Περιπέτεια

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Πέμ Νοέμ 02, 2023 2:54 am

gbaloglou έγραψε: ↑
Τετ Νοέμ 01, 2023 2:37 am
 Μια και κάτι έγραψα εδώ περί αναλυτικής απόδειξης (και 'γενίκευσης') Ανισότητας Πτολεμαίου, ας το δούμε λίγο ... αν και η απόδειξη δεν έχει ολοκληρωθεί ... καθώς κάποια θέματα που τίθενται μπορεί να έχουν μεγαλύτερη αξία από την ίδια την απόδειξη ;)

Ας πάρουμε λοιπόν ένα συγκεκριμένο παράδειγμα, A=(0,1), B=(-2,0), C=(3,0), D=(x,y), οπότε η BC\cdot AD\leq AB\cdot CD+AC\cdot BD ανάγεται στην ανισότητα

5\cdot \sqrt{x^2+(y-1)^2}\leq \sqrt{5}\cdot\sqrt{(x-3)^2+y^2}+\sqrt{10}\cdot\sqrt{(x+2)^2+y^2},

η οποία ύστερα από δύο υψώσεις στο τετράγωνο καταλήγει στην ανισότητα

3(x^2+y^2)^2-33x^2+39y^2-10xy-6(x^2+y^2)x+10(x^2+y^2)y+36x-60y+108\geq 0.

Αντί να χρησιμοποιήσουμε Λογισμό δύο μεταβλητών, ας δούμε άλλες προσεγγίσεις, πχ το συνημμένο γράφημα της ανισότητας

3(x^2+y^2)^2-33x^2+39y^2-10xy-6(x^2+y^2)x+10(x^2+y^2)y+36x-60y+108>1,

όπου οι δύο τρυπούλες (μικροσκοπικές περιοχές αποτυχίας της ελάχιστα ενισχυμένης ανισότητας) μας οδηγούν στα σημεία μηδενισμού της παράστασης, (x,y)=(-2,0) και (x,y)=(3,0) -- σημεία που αναμενόμενα αντιστοιχούν στις D\equiv B και D\equiv C.

Δεν θα ήταν παράλογο λοιπόν να σκεφθούμε εδώ το 'γινόμενο' των δύο 'κύκλων μηδενικής ακτίνας', (x+2)^2+y^2=0 και (x-3)^2+y^2=0,

((x+2)^2+y^2)((x-3)^2+y^2)=0\leftrightarrow (x^2+y^2)^2-2(x^2+y^2)x-11x^2+13y^2+12x+36=0,

το οποίο πολλαπλασιαζόμενο επί 3 και προστιθέμενο στην 'μυστηριώδη' ποσότητα -10xy+10(x^2+y^2)y-60y μας δίνει την αρχική ανισότητα!

Τι είδους 'συμπεράσματα' προκύπτουν από όλα αυτά και πόσο/πως βοηθούν στην απόδειξη της Ανισότητας Πτολεμαίου;;;

two-variable-ptolemy-inequality-gtaph.png

3(x^2+y^2)^2-33x^2+39y^2-10xy-6(x^2+y^2)x+10(x^2+y^2)y+36x-60y+108=

=3\left(x^2-x-6+y^2+\dfrac{5y}{3}\right)^2+\dfrac{200y^2}{3}\geq 0


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Κορυφή
KDORTSI
Διακεκριμένο Μέλος
Δημοσιεύσεις: 2529
Εγγραφή: Τετ Μαρ 11, 2009 9:26 pm

Re: Περιπέτεια

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KDORTSI » Πέμ Νοέμ 02, 2023 12:44 pm

gbaloglou έγραψε: ↑
Πέμ Νοέμ 02, 2023 2:54 am
gbaloglou έγραψε: ↑
Τετ Νοέμ 01, 2023 2:37 am
 Μια και κάτι έγραψα εδώ περί αναλυτικής απόδειξης (και 'γενίκευσης') Ανισότητας Πτολεμαίου, ας το δούμε λίγο ... αν και η απόδειξη δεν έχει ολοκληρωθεί ... καθώς κάποια θέματα που τίθενται μπορεί να έχουν μεγαλύτερη αξία από την ίδια την απόδειξη ;)

Ας πάρουμε λοιπόν ένα συγκεκριμένο παράδειγμα, A=(0,1), B=(-2,0), C=(3,0), D=(x,y), οπότε η BC\cdot AD\leq AB\cdot CD+AC\cdot BD ανάγεται στην ανισότητα

5\cdot \sqrt{x^2+(y-1)^2}\leq \sqrt{5}\cdot\sqrt{(x-3)^2+y^2}+\sqrt{10}\cdot\sqrt{(x+2)^2+y^2},

η οποία ύστερα από δύο υψώσεις στο τετράγωνο καταλήγει στην ανισότητα

3(x^2+y^2)^2-33x^2+39y^2-10xy-6(x^2+y^2)x+10(x^2+y^2)y+36x-60y+108\geq 0.

Αντί να χρησιμοποιήσουμε Λογισμό δύο μεταβλητών, ας δούμε άλλες προσεγγίσεις, πχ το συνημμένο γράφημα της ανισότητας

3(x^2+y^2)^2-33x^2+39y^2-10xy-6(x^2+y^2)x+10(x^2+y^2)y+36x-60y+108>1,

όπου οι δύο τρυπούλες (μικροσκοπικές περιοχές αποτυχίας της ελάχιστα ενισχυμένης ανισότητας) μας οδηγούν στα σημεία μηδενισμού της παράστασης, (x,y)=(-2,0) και (x,y)=(3,0) -- σημεία που αναμενόμενα αντιστοιχούν στις D\equiv B και D\equiv C.

Δεν θα ήταν παράλογο λοιπόν να σκεφθούμε εδώ το 'γινόμενο' των δύο 'κύκλων μηδενικής ακτίνας', (x+2)^2+y^2=0 και (x-3)^2+y^2=0,

((x+2)^2+y^2)((x-3)^2+y^2)=0\leftrightarrow (x^2+y^2)^2-2(x^2+y^2)x-11x^2+13y^2+12x+36=0,

το οποίο πολλαπλασιαζόμενο επί 3 και προστιθέμενο στην 'μυστηριώδη' ποσότητα -10xy+10(x^2+y^2)y-60y μας δίνει την αρχική ανισότητα!

Τι είδους 'συμπεράσματα' προκύπτουν από όλα αυτά και πόσο/πως βοηθούν στην απόδειξη της Ανισότητας Πτολεμαίου;;;

two-variable-ptolemy-inequality-gtaph.png

3(x^2+y^2)^2-33x^2+39y^2-10xy-6(x^2+y^2)x+10(x^2+y^2)y+36x-60y+108=

=3\left(x^2-x-6+y^2+\dfrac{5y}{3}\right)^2+\dfrac{200y^2}{3}\geq 0
Γιώργο καλημέρα...

Για να σε βοηθήσω στην περιπέτειά σου(!) παραθέτω ένα αρχείο που δείχνει το γράφημα της

πεπλεγμένης συνάρτησης στην οποία κατέληξες από το πρώτο θεώρημα του Πτολεμαίου για τα

τα συγκεκριμένα σημεία που αναφέρεις. Το σχήμα είναι δυναμικό και ίσως εσύ το αξιοποιήσεις

καλύτερα.
Περιπέτεια 1.png
Περιπέτεια 1.png (11.93 KiB) Προβλήθηκε 3642 φορές
Το δυναμικό αρχείο βρίσκεται στον ακόλουθο σύνδεσμο:

https://www.geogebra.org/m/t8p6qumd

Δόρτσιος Κώστας


Κορυφή
Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3521
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:
Επικοινωνία gbaloglou

Re: Περιπέτεια

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Πέμ Νοέμ 02, 2023 8:55 pm

KDORTSI έγραψε: ↑
Πέμ Νοέμ 02, 2023 12:44 pm
gbaloglou έγραψε: ↑
Πέμ Νοέμ 02, 2023 2:54 am
gbaloglou έγραψε: ↑
Τετ Νοέμ 01, 2023 2:37 am
 Μια και κάτι έγραψα εδώ περί αναλυτικής απόδειξης (και 'γενίκευσης') Ανισότητας Πτολεμαίου, ας το δούμε λίγο ... αν και η απόδειξη δεν έχει ολοκληρωθεί ... καθώς κάποια θέματα που τίθενται μπορεί να έχουν μεγαλύτερη αξία από την ίδια την απόδειξη ;)

Ας πάρουμε λοιπόν ένα συγκεκριμένο παράδειγμα, A=(0,1), B=(-2,0), C=(3,0), D=(x,y), οπότε η BC\cdot AD\leq AB\cdot CD+AC\cdot BD ανάγεται στην ανισότητα

5\cdot \sqrt{x^2+(y-1)^2}\leq \sqrt{5}\cdot\sqrt{(x-3)^2+y^2}+\sqrt{10}\cdot\sqrt{(x+2)^2+y^2},

η οποία ύστερα από δύο υψώσεις στο τετράγωνο καταλήγει στην ανισότητα

3(x^2+y^2)^2-33x^2+39y^2-10xy-6(x^2+y^2)x+10(x^2+y^2)y+36x-60y+108\geq 0.

Αντί να χρησιμοποιήσουμε Λογισμό δύο μεταβλητών, ας δούμε άλλες προσεγγίσεις, πχ το συνημμένο γράφημα της ανισότητας

3(x^2+y^2)^2-33x^2+39y^2-10xy-6(x^2+y^2)x+10(x^2+y^2)y+36x-60y+108>1,

όπου οι δύο τρυπούλες (μικροσκοπικές περιοχές αποτυχίας της ελάχιστα ενισχυμένης ανισότητας) μας οδηγούν στα σημεία μηδενισμού της παράστασης, (x,y)=(-2,0) και (x,y)=(3,0) -- σημεία που αναμενόμενα αντιστοιχούν στις D\equiv B και D\equiv C.

Δεν θα ήταν παράλογο λοιπόν να σκεφθούμε εδώ το 'γινόμενο' των δύο 'κύκλων μηδενικής ακτίνας', (x+2)^2+y^2=0 και (x-3)^2+y^2=0,

((x+2)^2+y^2)((x-3)^2+y^2)=0\leftrightarrow (x^2+y^2)^2-2(x^2+y^2)x-11x^2+13y^2+12x+36=0,

το οποίο πολλαπλασιαζόμενο επί 3 και προστιθέμενο στην 'μυστηριώδη' ποσότητα -10xy+10(x^2+y^2)y-60y μας δίνει την αρχική ανισότητα!

Τι είδους 'συμπεράσματα' προκύπτουν από όλα αυτά και πόσο/πως βοηθούν στην απόδειξη της Ανισότητας Πτολεμαίου;;;

two-variable-ptolemy-inequality-gtaph.png

3(x^2+y^2)^2-33x^2+39y^2-10xy-6(x^2+y^2)x+10(x^2+y^2)y+36x-60y+108=

=3\left(x^2-x-6+y^2+\dfrac{5y}{3}\right)^2+\dfrac{200y^2}{3}\geq 0
Γιώργο καλημέρα...

Για να σε βοηθήσω στην περιπέτειά σου(!) παραθέτω ένα αρχείο που δείχνει το γράφημα της

πεπλεγμένης συνάρτησης στην οποία κατέληξες από το πρώτο θεώρημα του Πτολεμαίου για τα

τα συγκεκριμένα σημεία που αναφέρεις. Το σχήμα είναι δυναμικό και ίσως εσύ το αξιοποιήσεις

καλύτερα.

Περιπέτεια 1.png

Το δυναμικό αρχείο βρίσκεται στον ακόλουθο σύνδεσμο:

https://www.geogebra.org/m/t8p6qumd

Δόρτσιος Κώστας
Κώστα πολύ ενδιαφέρον, ειδικά επειδή οδηγεί στο εξής επί μέρους πρόβλημα:

Να δειχθεί ότι η στιγμή που οι δύο συνιστώσες της δυναμικής καμπύλης ενώνονται -- φιλιούνται θα λέγαμε Αγγλιστί -- αντιστοιχεί στο σημείο (1/2, 1/2).


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Κορυφή
Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3521
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:
Επικοινωνία gbaloglou

Re: Περιπέτεια

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Πέμ Νοέμ 02, 2023 10:55 pm

gbaloglou έγραψε: ↑
Πέμ Νοέμ 02, 2023 8:55 pm
KDORTSI έγραψε: ↑
Πέμ Νοέμ 02, 2023 12:44 pm
gbaloglou έγραψε: ↑
Πέμ Νοέμ 02, 2023 2:54 am
gbaloglou έγραψε: ↑
Τετ Νοέμ 01, 2023 2:37 am
 Μια και κάτι έγραψα εδώ περί αναλυτικής απόδειξης (και 'γενίκευσης') Ανισότητας Πτολεμαίου, ας το δούμε λίγο ... αν και η απόδειξη δεν έχει ολοκληρωθεί ... καθώς κάποια θέματα που τίθενται μπορεί να έχουν μεγαλύτερη αξία από την ίδια την απόδειξη ;)

Ας πάρουμε λοιπόν ένα συγκεκριμένο παράδειγμα, A=(0,1), B=(-2,0), C=(3,0), D=(x,y), οπότε η BC\cdot AD\leq AB\cdot CD+AC\cdot BD ανάγεται στην ανισότητα

5\cdot \sqrt{x^2+(y-1)^2}\leq \sqrt{5}\cdot\sqrt{(x-3)^2+y^2}+\sqrt{10}\cdot\sqrt{(x+2)^2+y^2},

η οποία ύστερα από δύο υψώσεις στο τετράγωνο καταλήγει στην ανισότητα

3(x^2+y^2)^2-33x^2+39y^2-10xy-6(x^2+y^2)x+10(x^2+y^2)y+36x-60y+108\geq 0.

Αντί να χρησιμοποιήσουμε Λογισμό δύο μεταβλητών, ας δούμε άλλες προσεγγίσεις, πχ το συνημμένο γράφημα της ανισότητας

3(x^2+y^2)^2-33x^2+39y^2-10xy-6(x^2+y^2)x+10(x^2+y^2)y+36x-60y+108>1,

όπου οι δύο τρυπούλες (μικροσκοπικές περιοχές αποτυχίας της ελάχιστα ενισχυμένης ανισότητας) μας οδηγούν στα σημεία μηδενισμού της παράστασης, (x,y)=(-2,0) και (x,y)=(3,0) -- σημεία που αναμενόμενα αντιστοιχούν στις D\equiv B και D\equiv C.

Δεν θα ήταν παράλογο λοιπόν να σκεφθούμε εδώ το 'γινόμενο' των δύο 'κύκλων μηδενικής ακτίνας', (x+2)^2+y^2=0 και (x-3)^2+y^2=0,

((x+2)^2+y^2)((x-3)^2+y^2)=0\leftrightarrow (x^2+y^2)^2-2(x^2+y^2)x-11x^2+13y^2+12x+36=0,

το οποίο πολλαπλασιαζόμενο επί 3 και προστιθέμενο στην 'μυστηριώδη' ποσότητα -10xy+10(x^2+y^2)y-60y μας δίνει την αρχική ανισότητα!

Τι είδους 'συμπεράσματα' προκύπτουν από όλα αυτά και πόσο/πως βοηθούν στην απόδειξη της Ανισότητας Πτολεμαίου;;;

two-variable-ptolemy-inequality-gtaph.png

3(x^2+y^2)^2-33x^2+39y^2-10xy-6(x^2+y^2)x+10(x^2+y^2)y+36x-60y+108=

=3\left(x^2-x-6+y^2+\dfrac{5y}{3}\right)^2+\dfrac{200y^2}{3}\geq 0
Γιώργο καλημέρα...

Για να σε βοηθήσω στην περιπέτειά σου(!) παραθέτω ένα αρχείο που δείχνει το γράφημα της

πεπλεγμένης συνάρτησης στην οποία κατέληξες από το πρώτο θεώρημα του Πτολεμαίου για τα

τα συγκεκριμένα σημεία που αναφέρεις. Το σχήμα είναι δυναμικό και ίσως εσύ το αξιοποιήσεις

καλύτερα.

Περιπέτεια 1.png

Το δυναμικό αρχείο βρίσκεται στον ακόλουθο σύνδεσμο:

https://www.geogebra.org/m/t8p6qumd

Δόρτσιος Κώστας
Κώστα πολύ ενδιαφέρον, ειδικά επειδή οδηγεί στο εξής επί μέρους πρόβλημα:

Να δειχθεί ότι η στιγμή που οι δύο συνιστώσες της δυναμικής καμπύλης ενώνονται -- φιλιούνται θα λέγαμε Αγγλιστί -- αντιστοιχεί στο σημείο (1/2, 1/2).
Τώρα που το ξαναβλέπω ... ΔΕΝ είναι το (1/2, 1/2) το σωστό σημείο...

Δόρτσιου-Περιπέτεια.png
Δόρτσιου-Περιπέτεια.png (91.07 KiB) Προβλήθηκε 3578 φορές


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Κορυφή
Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3521
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:
Επικοινωνία gbaloglou

Re: Περιπέτεια

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Παρ Νοέμ 03, 2023 3:27 pm

Σκέφθηκα λοιπόν, με βάση τα παραπάνω περιπετειώδη, να εξετάσω όχι την συνάρτηση (δύο μεταβλητών) στην οποία ανάγεται (ύστερα από δύο υψώσεις στο τετράγωνο) η BC\cdot AD\leq AB\cdot CD+AC\cdot BD ... αλλά την συνάρτηση που εκφράζει άμεσα την μη αρνητική διαφορά AB\cdot CD+AC\cdot BD-BC\cdot AD, δίνοντας συγκεκριμένες τιμές σ' αυτήν την διαφορά και λαμβάνοντας το αντίστοιχο γράφημα: εδώ υπήρξε μία μεγάλη έκπληξη ... στην μετάβαση από την AB\cdot CD+AC\cdot BD-BC\cdot AD=13,3892 στην AB\cdot CD+AC\cdot BD-BC\cdot AD=13,3893: σας στέλνω τα σχετικά γραφήματα, αφήνοντας τις όποιες σκέψεις και διαπιστώσεις για αργότερα :roll:

13,3892-13,3893.png
13,3892-13,3893.png (38.83 KiB) Προβλήθηκε 3534 φορές


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Κορυφή
KDORTSI
Διακεκριμένο Μέλος
Δημοσιεύσεις: 2529
Εγγραφή: Τετ Μαρ 11, 2009 9:26 pm

Re: Περιπέτεια

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KDORTSI » Παρ Νοέμ 03, 2023 9:47 pm

gbaloglou έγραψε: ↑
Παρ Νοέμ 03, 2023 3:27 pm
 Σκέφθηκα λοιπόν, με βάση τα παραπάνω περιπετειώδη, να εξετάσω όχι την συνάρτηση (δύο μεταβλητών) στην οποία ανάγεται (ύστερα από δύο υψώσεις στο τετράγωνο) η BC\cdot AD\leq AB\cdot CD+AC\cdot BD ... αλλά την συνάρτηση που εκφράζει άμεσα την μη αρνητική διαφορά AB\cdot CD+AC\cdot BD-BC\cdot AD, δίνοντας συγκεκριμένες τιμές σ' αυτήν την διαφορά και λαμβάνοντας το αντίστοιχο γράφημα: εδώ υπήρξε μία μεγάλη έκπληξη ... στην μετάβαση από την AB\cdot CD+AC\cdot BD-BC\cdot AD=13,3892 στην AB\cdot CD+AC\cdot BD-BC\cdot AD=13,3893: σας στέλνω τα σχετικά γραφήματα, αφήνοντας τις όποιες σκέψεις και διαπιστώσεις για αργότερα :roll:


Γιώργο καλησπέρα...

Αναρτώ ένα σχήμα που περιλαμβάνει όλες τις περιπτώσεις.

Ρίξε μια ματιά και τα λέμε...

Το σχήμα είναι το ακόλουθο:
Περιπέτεια 2.png
Περιπέτεια 2.png (17.08 KiB) Προβλήθηκε 3496 φορές
Και ο σύνδεσμος για το δυναμικό εδώ:

https://www.geogebra.org/m/qmpwnfkr

Πιστεύω ότι και στο λογισμικό που χρησιμοποιείς βγάζει τα ίδια,

απλά εσύ πήρες μόνο δυο στιγμιότυπα.

Κώστας Δόρτσιος


Κορυφή
Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3521
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:
Επικοινωνία gbaloglou

Re: Περιπέτεια

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Σάβ Νοέμ 04, 2023 12:46 am

KDORTSI έγραψε: ↑
Παρ Νοέμ 03, 2023 9:47 pm
gbaloglou έγραψε: ↑
Παρ Νοέμ 03, 2023 3:27 pm
 Σκέφθηκα λοιπόν, με βάση τα παραπάνω περιπετειώδη, να εξετάσω όχι την συνάρτηση (δύο μεταβλητών) στην οποία ανάγεται (ύστερα από δύο υψώσεις στο τετράγωνο) η BC\cdot AD\leq AB\cdot CD+AC\cdot BD ... αλλά την συνάρτηση που εκφράζει άμεσα την μη αρνητική διαφορά AB\cdot CD+AC\cdot BD-BC\cdot AD, δίνοντας συγκεκριμένες τιμές σ' αυτήν την διαφορά και λαμβάνοντας το αντίστοιχο γράφημα: εδώ υπήρξε μία μεγάλη έκπληξη ... στην μετάβαση από την AB\cdot CD+AC\cdot BD-BC\cdot AD=13,3892 στην AB\cdot CD+AC\cdot BD-BC\cdot AD=13,3893: σας στέλνω τα σχετικά γραφήματα, αφήνοντας τις όποιες σκέψεις και διαπιστώσεις για αργότερα :roll:


Γιώργο καλησπέρα...

Αναρτώ ένα σχήμα που περιλαμβάνει όλες τις περιπτώσεις.

Ρίξε μια ματιά και τα λέμε...

Το σχήμα είναι το ακόλουθο:

Περιπέτεια 2.png

Και ο σύνδεσμος για το δυναμικό εδώ:

https://www.geogebra.org/m/qmpwnfkr

Πιστεύω ότι και στο λογισμικό που χρησιμοποιείς βγάζει τα ίδια,

απλά εσύ πήρες μόνο δυο στιγμιότυπα.

Κώστας Δόρτσιος
Κώστα αυτό που καταλαβαίνω από αυτό που μας έστειλες είναι ότι έχουμε, για πολλές τιμές της παράστασης, ΔΥΟ κλειστούς κλάδους -- δύο 'στιγμιότυπα' για κάθε συγκεκριμένη τιμή -- που το WolframAlpha δεν μπορεί να δείξει ταυτόχρονα λόγω σημαντικής διαφοράς μεγεθών και κλιμάκων, οπότε επιλέγει με δικά του κριτήρια ποιον από τους δύο κλάδους θα μας δείξει! Απίθανο!

Σ' ευχαριστούμε, μπορεί να επανέλθω από αύριο το πρωί...


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Κορυφή
Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3521
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:
Επικοινωνία gbaloglou

Re: Περιπέτεια

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Δευ Νοέμ 06, 2023 1:43 pm

gbaloglou έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 04, 2023 12:46 am
KDORTSI έγραψε: ↑
Παρ Νοέμ 03, 2023 9:47 pm
gbaloglou έγραψε: ↑
Παρ Νοέμ 03, 2023 3:27 pm
 Σκέφθηκα λοιπόν, με βάση τα παραπάνω περιπετειώδη, να εξετάσω όχι την συνάρτηση (δύο μεταβλητών) στην οποία ανάγεται (ύστερα από δύο υψώσεις στο τετράγωνο) η BC\cdot AD\leq AB\cdot CD+AC\cdot BD ... αλλά την συνάρτηση που εκφράζει άμεσα την μη αρνητική διαφορά AB\cdot CD+AC\cdot BD-BC\cdot AD, δίνοντας συγκεκριμένες τιμές σ' αυτήν την διαφορά και λαμβάνοντας το αντίστοιχο γράφημα: εδώ υπήρξε μία μεγάλη έκπληξη ... στην μετάβαση από την AB\cdot CD+AC\cdot BD-BC\cdot AD=13,3892 στην AB\cdot CD+AC\cdot BD-BC\cdot AD=13,3893: σας στέλνω τα σχετικά γραφήματα, αφήνοντας τις όποιες σκέψεις και διαπιστώσεις για αργότερα :roll:


Γιώργο καλησπέρα...

Αναρτώ ένα σχήμα που περιλαμβάνει όλες τις περιπτώσεις.

Ρίξε μια ματιά και τα λέμε...

Το σχήμα είναι το ακόλουθο:

Περιπέτεια 2.png

Και ο σύνδεσμος για το δυναμικό εδώ:

https://www.geogebra.org/m/qmpwnfkr

Πιστεύω ότι και στο λογισμικό που χρησιμοποιείς βγάζει τα ίδια,

απλά εσύ πήρες μόνο δυο στιγμιότυπα.

Κώστας Δόρτσιος
Κώστα αυτό που καταλαβαίνω από αυτό που μας έστειλες είναι ότι έχουμε, για πολλές τιμές της παράστασης, ΔΥΟ κλειστούς κλάδους -- δύο 'στιγμιότυπα' για κάθε συγκεκριμένη τιμή -- που το WolframAlpha δεν μπορεί να δείξει ταυτόχρονα λόγω σημαντικής διαφοράς μεγεθών και κλιμάκων, οπότε επιλέγει με δικά του κριτήρια ποιον από τους δύο κλάδους θα μας δείξει! Απίθανο!

Σ' ευχαριστούμε, μπορεί να επανέλθω από αύριο το πρωί...
Από τον παραπάνω δυναμικό σύνδεσμο Geogebra του Κώστα προκύπτει ότι, για a περίπου μεταξύ 10 και 12, η καμπύλη που αντιστοιχεί στην AB\cdot CD+AC\cdot BD - BC\cdot AD=a (για A=(0,1), B=(-2,0), C=(3,0), D=(x,y)) -- ένα είδος μετρητή της ισχύος της Ανισότητας Πτολεμαίου -- έχει όντως δύο τμήματα (κλειστές καμπύλες), ένα κύριο εξωτερικό και ένα μικροσκοπικό εσωτερικό: αυτό φαίνεται μόνο με την κατάλληλη μεγέθυνση οθόνης στον δυναμικό σύνδεσμο του Κώστα -- γι αυτό και τα έπαιξε το WolframAlpha -- και, υποθέτω, με απαλοιφή τετραγώνων και μελέτη (με πιθανή παραγοντοποίηση) του πολυωνύμου 8ου βαθμού που προκύπτει :roll: Δεν αντέχω προς το παρόν να μπω σε τέτοιου είδους ... περιπέτεια, οπότε στο συνημμένο σας δείχνω ένα πρώτο δείγμα και βήμα (για a=13), μαζί με την αντίστοιχη στιγμή (περίπου) στον δυναμικό σύνδεσμο του Κώστα.

O αντίστοιχος 'μετρητής' της Τριγωνικής Ανισότητας AB+AC-BC=a, για B=(-2,0), C=(3,0), A=(x,y), είναι η έλλειψη (με εστίες B, C)

(40a+4a^2)\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+(100+40a+4a^2)y^2=(10a+a^2)^2+25(10a+a^2):

αναμενόμενα απλούστερος (και γνωστός εκ των προτέρων, θα λέγαμε).

[Καθώς το a αυξάνεται ανεξέλεγκτα ... στην μεν περίπτωση της Τριγωνικής Ανισότητας η έλλειψη τείνει προς κύκλο κέντρου \left(\dfrac{1}{2},0\right) και ακτίνας 'περίπου' \dfrac{5+a}{2}, στην δε περίπτωση της Ανισότητας Πτολεμαίου η μυστηριώδης καμπύλη ΦΑΙΝΕΤΑΙ -- μέσω του δυναμικού συνδέσμου του Κώστα πάντοτε -- να τείνει πάλι προς κύκλο σταθερού (!) κέντρου \approx(0,5, -12,6) και μεταβλητής ακτίνας 'περίπου' \dfrac{5a}{2}.]


περιπέτεια-2.png
περιπέτεια-2.png (145.24 KiB) Προβλήθηκε 3415 φορές


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Κορυφή
Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3521
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:
Επικοινωνία gbaloglou

Re: Περιπέτεια

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Τρί Νοέμ 07, 2023 12:12 am

gbaloglou έγραψε: ↑
Πέμ Νοέμ 02, 2023 2:54 am
gbaloglou έγραψε: ↑
Τετ Νοέμ 01, 2023 2:37 am
 Μια και κάτι έγραψα εδώ περί αναλυτικής απόδειξης (και 'γενίκευσης') Ανισότητας Πτολεμαίου, ας το δούμε λίγο ... αν και η απόδειξη δεν έχει ολοκληρωθεί ... καθώς κάποια θέματα που τίθενται μπορεί να έχουν μεγαλύτερη αξία από την ίδια την απόδειξη ;)

Ας πάρουμε λοιπόν ένα συγκεκριμένο παράδειγμα, A=(0,1), B=(-2,0), C=(3,0), D=(x,y), οπότε η BC\cdot AD\leq AB\cdot CD+AC\cdot BD ανάγεται στην ανισότητα

5\cdot \sqrt{x^2+(y-1)^2}\leq \sqrt{5}\cdot\sqrt{(x-3)^2+y^2}+\sqrt{10}\cdot\sqrt{(x+2)^2+y^2},

η οποία ύστερα από δύο υψώσεις στο τετράγωνο καταλήγει στην ανισότητα

3(x^2+y^2)^2-33x^2+39y^2-10xy-6(x^2+y^2)x+10(x^2+y^2)y+36x-60y+108\geq 0.

Αντί να χρησιμοποιήσουμε Λογισμό δύο μεταβλητών, ας δούμε άλλες προσεγγίσεις, πχ το συνημμένο γράφημα της ανισότητας

3(x^2+y^2)^2-33x^2+39y^2-10xy-6(x^2+y^2)x+10(x^2+y^2)y+36x-60y+108>1,

όπου οι δύο τρυπούλες (μικροσκοπικές περιοχές αποτυχίας της ελάχιστα ενισχυμένης ανισότητας) μας οδηγούν στα σημεία μηδενισμού της παράστασης, (x,y)=(-2,0) και (x,y)=(3,0) -- σημεία που αναμενόμενα αντιστοιχούν στις D\equiv B και D\equiv C.

Δεν θα ήταν παράλογο λοιπόν να σκεφθούμε εδώ το 'γινόμενο' των δύο 'κύκλων μηδενικής ακτίνας', (x+2)^2+y^2=0 και (x-3)^2+y^2=0,

((x+2)^2+y^2)((x-3)^2+y^2)=0\leftrightarrow (x^2+y^2)^2-2(x^2+y^2)x-11x^2+13y^2+12x+36=0,

το οποίο πολλαπλασιαζόμενο επί 3 και προστιθέμενο στην 'μυστηριώδη' ποσότητα -10xy+10(x^2+y^2)y-60y μας δίνει την αρχική ανισότητα!

Τι είδους 'συμπεράσματα' προκύπτουν από όλα αυτά και πόσο/πως βοηθούν στην απόδειξη της Ανισότητας Πτολεμαίου;;;

two-variable-ptolemy-inequality-gtaph.png

3(x^2+y^2)^2-33x^2+39y^2-10xy-6(x^2+y^2)x+10(x^2+y^2)y+36x-60y+108=

=3\left(x^2-x-6+y^2+\dfrac{5y}{3}\right)^2+\dfrac{200y^2}{3}\geq 0
ΔΥΣΤΥΧΩΣ υπάρχει λάθος στην πρώτη σειρά αμέσως παραπάνω. ΕΥΤΥΧΩΣ το λάθος όχι μόνον διορθώνεται αλλά απλοποιείται κάπως η απόδειξη μου:

(x^2+y^2)^2-11x^2+13y^2-2(x^2+y^2)x+10(x^2+y^2)y+12x-60y-10xy+36=

=(x^2-x-6+y^2+5y)^2\geq 0.

[Πιθανώς θα σχολιάσω περισσότερο σε άλλη ευκαιρία.]


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Κορυφή
Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3521
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:
Επικοινωνία gbaloglou

Re: Περιπέτεια

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Τρί Νοέμ 07, 2023 7:47 pm

gbaloglou έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 07, 2023 12:12 am
gbaloglou έγραψε: ↑
Πέμ Νοέμ 02, 2023 2:54 am
gbaloglou έγραψε: ↑
Τετ Νοέμ 01, 2023 2:37 am
 Μια και κάτι έγραψα εδώ περί αναλυτικής απόδειξης (και 'γενίκευσης') Ανισότητας Πτολεμαίου, ας το δούμε λίγο ... αν και η απόδειξη δεν έχει ολοκληρωθεί ... καθώς κάποια θέματα που τίθενται μπορεί να έχουν μεγαλύτερη αξία από την ίδια την απόδειξη ;)

Ας πάρουμε λοιπόν ένα συγκεκριμένο παράδειγμα, A=(0,1), B=(-2,0), C=(3,0), D=(x,y), οπότε η BC\cdot AD\leq AB\cdot CD+AC\cdot BD ανάγεται στην ανισότητα

5\cdot \sqrt{x^2+(y-1)^2}\leq \sqrt{5}\cdot\sqrt{(x-3)^2+y^2}+\sqrt{10}\cdot\sqrt{(x+2)^2+y^2},

η οποία ύστερα από δύο υψώσεις στο τετράγωνο καταλήγει στην ανισότητα

3(x^2+y^2)^2-33x^2+39y^2-10xy-6(x^2+y^2)x+10(x^2+y^2)y+36x-60y+108\geq 0.

Αντί να χρησιμοποιήσουμε Λογισμό δύο μεταβλητών, ας δούμε άλλες προσεγγίσεις, πχ το συνημμένο γράφημα της ανισότητας

3(x^2+y^2)^2-33x^2+39y^2-10xy-6(x^2+y^2)x+10(x^2+y^2)y+36x-60y+108>1,

όπου οι δύο τρυπούλες (μικροσκοπικές περιοχές αποτυχίας της ελάχιστα ενισχυμένης ανισότητας) μας οδηγούν στα σημεία μηδενισμού της παράστασης, (x,y)=(-2,0) και (x,y)=(3,0) -- σημεία που αναμενόμενα αντιστοιχούν στις D\equiv B και D\equiv C.

Δεν θα ήταν παράλογο λοιπόν να σκεφθούμε εδώ το 'γινόμενο' των δύο 'κύκλων μηδενικής ακτίνας', (x+2)^2+y^2=0 και (x-3)^2+y^2=0,

((x+2)^2+y^2)((x-3)^2+y^2)=0\leftrightarrow (x^2+y^2)^2-2(x^2+y^2)x-11x^2+13y^2+12x+36=0,

το οποίο πολλαπλασιαζόμενο επί 3 και προστιθέμενο στην 'μυστηριώδη' ποσότητα -10xy+10(x^2+y^2)y-60y μας δίνει την αρχική ανισότητα!

Τι είδους 'συμπεράσματα' προκύπτουν από όλα αυτά και πόσο/πως βοηθούν στην απόδειξη της Ανισότητας Πτολεμαίου;;;

two-variable-ptolemy-inequality-gtaph.png

3(x^2+y^2)^2-33x^2+39y^2-10xy-6(x^2+y^2)x+10(x^2+y^2)y+36x-60y+108=

=3\left(x^2-x-6+y^2+\dfrac{5y}{3}\right)^2+\dfrac{200y^2}{3}\geq 0
ΔΥΣΤΥΧΩΣ υπάρχει λάθος στην πρώτη σειρά αμέσως παραπάνω. ΕΥΤΥΧΩΣ το λάθος όχι μόνον διορθώνεται αλλά απλοποιείται κάπως η απόδειξη μου:

(x^2+y^2)^2-11x^2+13y^2-2(x^2+y^2)x+10(x^2+y^2)y+12x-60y-10xy+36=

=(x^2-x-6+y^2+5y)^2\geq 0.

[Πιθανώς θα σχολιάσω περισσότερο σε άλλη ευκαιρία.]
Τα παραπάνω είναι οδηγός για την πλήρη απόδειξη και διερεύνηση της Ανισότητας Πτολεμαίου BC\cdot AD\leq AB\cdot CD+AC\cdot BD: ξεκινώντας από τυχαίο τρίγωνο ABC με A=(0,a), B=(-b,0), C=(c,0) -- όπου ενδεχομένως b\leq 0, c\leq 0 -- και τυχόν σημείο D=(x,y) και υψώνοντας την ανισότητα στο τετράγωνο δύο φορές έχουμε αναγωγή της στην προφανώς ισχύουσα

(b+c)^2[a(x^2+y^2)+a(b-c)x+(bc-a^2)y-abc]^2\geq0,

η οποία μας δίνει επίσης τον περιγεγραμμένο κύκλο του ABC,

\left(x-\dfrac{c-b}{2}\right)^2+\left(y-\dfrac{a^2-bc}{2a}\right)^2=\left(\dfrac{\sqrt{(a^2+b^2)(a^2+c^2)}}{2a}\right)^2,

επιβεβαιώνοντας και την ισχύ της ισότητας αν και μόνον αν το ABCD είναι εγγράψιμο (Θεώρημα Πτολεμαίου).


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Κορυφή
Άβαταρ μέλους
silouan
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1431
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 10:52 pm

Re: Περιπέτεια

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από silouan » Τρί Νοέμ 07, 2023 7:49 pm

Το ότι υπήρχε λάθος πριν, μπορούσαμε να το φανταστούμε από την περίπτωση της ισότητας.

Πράγματι, τώρα η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν (x - 1/2)^2 + (y + 5/2)^2 = 25/2, δηλαδή αν και μόνο αν το σημείο (x,y) ανήκει στον κύκλο που περνάει από τα τρία δοθέντα σημεία.

Υ.Γ. Με προλάβατε με την πλήρη λύση.


Σιλουανός Μπραζιτίκος
Κορυφή
Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3521
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:
Επικοινωνία gbaloglou

Re: Περιπέτεια

#13

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Πέμ Νοέμ 09, 2023 10:46 pm

silouan έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 07, 2023 7:49 pm
 Το ότι υπήρχε λάθος πριν, μπορούσαμε να το φανταστούμε από την περίπτωση της ισότητας.

Πράγματι, τώρα η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν (x - 1/2)^2 + (y + 5/2)^2 = 25/2, δηλαδή αν και μόνο αν το σημείο (x,y) ανήκει στον κύκλο που περνάει από τα τρία δοθέντα σημεία.

Υ.Γ. Με προλάβατε με την πλήρη λύση.
Μόλις έλεγξα ότι ανάγεται -- ως όφειλε -- και η AB\cdot CD\leq AC\cdot BD+AD\cdot BC στην ίδια (τετραγωνισμένη) εξίσωση (περιγεγραμμένου) κύκλου, αν δεν βαρεθώ μπορεί να το κάνω και για την AD\cdot BC\leq AB\cdot CD+AC\cdot BD :)

[Βεβαίως οι παραπάνω δύο ανισότητες μπορεί να είναι αυστηρές ακόμη και όταν το ABCD είναι εγγράψιμο (τετράγωνο πχ), γενικώς θεωρώ ότι δεν έχω κατανοήσει 'πλήρως' το θέμα, ίσως επανέλθω..]

Στο θέμα του λάθους (μου) ... θα έπρεπε να είχα ελέγξει την σχετική παράσταση όχι μόνον για (x,y)=(-2,0) και (x,y)=(3,0) μα και για (x,y)=(0,1)!


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Κορυφή
Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3521
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:
Επικοινωνία gbaloglou

Re: Περιπέτεια

#14

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Κυρ Νοέμ 12, 2023 12:33 am

gbaloglou έγραψε: ↑
Πέμ Νοέμ 09, 2023 10:46 pm
 [Βεβαίως οι παραπάνω δύο ανισότητες μπορεί να είναι αυστηρές ακόμη και όταν το ABCD είναι εγγράψιμο (τετράγωνο πχ), γενικώς θεωρώ ότι δεν έχω κατανοήσει 'πλήρως' το θέμα, ίσως επανέλθω..]
Διάφοροι πειραματισμοί και η απαραίτητη τριγωνομετροποίηση του προβλήματος (και του αρχικού παραδείγματος A=(0,1), B=(-2,0), C=(3,0), D\approx(0,5+3,5cosx, -2,5+3,5sinx)) ... δείχνουν ότι, αναμενόμενα, οι τρεις Ανισότητες Πτολεμαίου είναι αυστηρές ακριβώς όταν το 'αφαιρούμενο ζεύγος' δεν είναι ζεύγος διαγωνίων:


ΘΕΩΡΗΜΑ-ΠΤΟΛΕΜΑΙΟΥ.png
ΘΕΩΡΗΜΑ-ΠΤΟΛΕΜΑΙΟΥ.png (80.19 KiB) Προβλήθηκε 3058 φορές


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Κορυφή
Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3521
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:
Επικοινωνία gbaloglou

Re: Περιπέτεια

#15

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Τετ Νοέμ 15, 2023 12:31 am

H ιδέα στα παραπάνω είναι να μελετήσουμε τις Πτολεμαϊκές διαφορές τύπου AB\cdot CD+BC\cdot AD-AC\cdot BD επί κύκλων με κέντρο το περίκεντρο O του ABC, \left(\dfrac{1}{2}, -\dfrac{5}{2}\right) στην συγκεκριμένη περίπτωση. Πρωτίστως στον περίκυκλο του ABC (ακτίνας \dfrac{5\sqrt{2}}{2}\approx 3,5), ώστε να 'πιάνουμε' γραφικά και το Θεώρημα Πτολεμαίου (μηδενισμός Πτολεμαϊκών διαφορών αν και μόνον αν το D κείται στον περίκυκλο του ABC), αλλά και σε άλλους ομόκεντρους κύκλους (όπου οι διαφορές ουδέποτε μηδενίζονται): παραθέτω προς σύγκριση τις διαφορές για κύκλους ακτίνας 1,5 και 5,5.

Το πλεονέκτημα αυτής της 'κυκλικής' προσέγγισης είναι βεβαίως η δυνατότητα χρήσης Τριγωνομετρίας, με D=\left(\dfrac{1}{2}+Rcos\theta, -\dfrac{5}{2}+Rsin\theta \right), όπου \theta η γωνία ανάμεσα στην OD και στην OP, όπου P=\left(R,-\dfrac{5}{2}\right). Τα γραφήματα που προέκυψαν είναι κάπως παράξενα, ιδίως όσον αφορά κάποιες αναπάντεχες 'γραμμικότητες'. Είχα και τεχνικές δυσκολίες στην παραγωγή τους, καθώς το WolframAlpha από ένα σημείο και μετά 'δυστ(ρ)όπησε' ;) Τέλος καλό όλα καλά όμως, και η ορθότητα της όλης προσέγγισης επιβεβαιώνεται και από τον μηδενισμό των Πτολεμαϊκών διαφορών (βλέπε γραφήματα προηγούμενης δημοσίευσης) στα 'σωστά' γωνιακά διαστήματα (έχοντας υπ' όψιν ότι οι γωνίες \theta (x στο λογισμικό) που αντιστοιχούν στα A, B, C είναι, περίπου, οι 1,8, 2,4, 0,8, αντίστοιχα.



15-ptolemy.png
15-ptolemy.png (77.83 KiB) Προβλήθηκε 2898 φορές


55-ptolemy.png
55-ptolemy.png (79.81 KiB) Προβλήθηκε 2898 φορές


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Κορυφή
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες