Απρόσιτη ελαχιστοποίηση

KARKAR · #1

: Απρόσιτη ελαχιστοποίηση.png (12.01 KiB) Προβλήθηκε 119 φορές

Στις πλευρές AO , AC, OC

του τριγώνου AOC

, θεωρούμε σημεία S , P , T

αντίστοιχα ,

ώστε το OSPT

να είναι παραλληλόγραμμο . Μπορούμε άραγε να βρούμε την θέση του

,

για την οποία το άθροισμα OP+ST

ελαχιστοποιείται ;

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Φεβ 04, 2026 7:44 am
Απρόσιτη ελαχιστοποίηση.pngΣτις πλευρές του τριγώνου , θεωρούμε σημεία αντίστοιχα ,

ώστε το να είναι παραλληλόγραμμο . Μπορούμε άραγε να βρούμε την θέση του ,

για την οποία το άθροισμα ελαχιστοποιείται ;

Με τους συμβολισμούς του σχήματος και από τις παραλληλίες είναι $\displaystyle \frac{y}{{3\sqrt 5 }} = \frac{{8 - x}}{8} \Leftrightarrow y = \frac{{3\sqrt 5 }}{8}(8 - x)$

: Απρόσιτη ελαχιστοποίηση.png (12.84 KiB) Προβλήθηκε 113 φορές

Με νόμο συνημιτόνων στα τρίγωνα OST, OTP,

όπου $\displaystyle \cos (T\widehat OS) = \frac{1}{{\sqrt 5 }} = - \cos (O\widehat TP),$ έχω:

$\displaystyle OP + ST = \sqrt {{x^2} + {y^2} + \frac{{2xy}}{{\sqrt 5 }}} + \sqrt {{x^2} + {y^2} - \frac{{2xy}}{{\sqrt 5 }}}$ και με αντικατάσταση του

$\displaystyle OP + ST = \frac{1}{8}\left( {\sqrt {64{x^2} + (8 - x)(360 + 3x)} + \sqrt {64{x^2} + (8 - x)(360 - 93x)} } \right),$

όπου με τη βοήθεια λογισμικού παίρνω $\boxed{(OP+ST)_{\rm min}\simeq 10,01274}$ όταν $\boxed{x\simeq 3,3677}$

Απρόσιτη ελαχιστοποίηση

Απρόσιτη ελαχιστοποίηση

Re: Απρόσιτη ελαχιστοποίηση

Μέλη σε σύνδεση