Χριστουγεννιάτικη εικασία

KARKAR · #1

: Χριστουγεννιάτικη εικασία.png (17.09 KiB) Προβλήθηκε 216 φορές

Με κέντρα τα άκρα του τμήματος OK=5

, γράφω τους κύκλους (O,4)

και

, των οποίων το ένα σημείο

τομής ονομάζω

. Ευθεία διερχόμενη από το

, τέμνει τους κύκλους στα σημεία P ,T

. Οι ημιευθείες PO , TK

,

τέμνονται στο σημείο

. Να δειχθεί ότι το εμβαδόν του τριγώνου SPT

μεγιστοποιείται , όταν το τετράπλευρο

POKT

καταστεί εγγράψιμο . Με ( περιορισμένη ) χρήση λογισμικού βρείτε αυτό το μέγιστο εμβαδόν .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 25, 2025 12:03 pm
Χριστουγεννιάτικη εικασία.pngΜε κέντρα τα άκρα του τμήματος , γράφω τους κύκλους και , των οποίων το ένα σημείο

τομής ονομάζω . Ευθεία διερχόμενη από το , τέμνει τους κύκλους στα σημεία . Οι ημιευθείες ,

τέμνονται στο σημείο . Να δειχθεί ότι το εμβαδόν του τριγώνου μεγιστοποιείται , όταν το τετράπλευρο

καταστεί εγγράψιμο . Με ( περιορισμένη ) χρήση λογισμικού βρείτε αυτό το μέγιστο εμβαδόν .

Με τους συμβολισμούς του σχήματος και τις προφανείς ίσες γωνίες του ίδιου χρώματος, προκύπτει ότι $P\widehat ST=90^\circ.$

: Χριστουγεννιάτικη εικασία.png (27.14 KiB) Προβλήθηκε 128 φορές

$\displaystyle f(x) = (SPT) = \frac{{(x + 4)\left( {\sqrt {25 - {x^2}} + 3} \right)}}{2}$ με $\displaystyle f'(x) = \frac{{ - 2{x^2} - 4x + 25 + 3\sqrt {25 - {x^2}} }}{{2\sqrt {25 - {x^2}} }},$

απ' όπου με τη βοήθεια λογισμικού παίρνω $\boxed{(SPT)_{max}\simeq 24,66617}$ όταν $\boxed{x\simeq 3,3644}$

Ο μηδενισμός της παραγώγου δίνει $\displaystyle x(x + 4) = \sqrt {25 - {x^2}} \left( {\sqrt {25 - {x^2}} + 3} \right) \Leftrightarrow SO \cdot SP = SK \cdot ST,$

δηλαδή όταν μεγιστοποιείται το (SPT),

το

καθίσταται εγγράψιμο.

Χριστουγεννιάτικη εικασία

Χριστουγεννιάτικη εικασία

Re: Χριστουγεννιάτικη εικασία

Μέλη σε σύνδεση