Ανεξιχνίαστο ελάχιστο

KARKAR · #1

: Ανεξιχνίαστο ελάχιστο.png (12.16 KiB) Προβλήθηκε 257 φορές

Στο τρίγωνο ABC

, σημείο

κινείται επί της - μήκους

- διαμέσου

. Ενδιαφερόμαστε για

το άθροισμα s = SA+SB+SC

. Προφανώς , όταν το

συμπέσει με το

είναι

,

ενώ όταν το

συμπέσει με το

, είναι

. Για κάποια ενδιάμεση θέση του

, το

θα γίνει ελάχιστο . Μπορούμε άραγε να βρούμε πότε συμβαίνει αυτό και ποιο είναι το ελάχιστο ;

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Οκτ 15, 2025 4:14 pm
Ανεξιχνίαστο ελάχιστο.pngΣτο τρίγωνο , σημείο κινείται επί της - μήκους - διαμέσου . Ενδιαφερόμαστε για

το άθροισμα . Προφανώς , όταν το συμπέσει με το είναι ,

ενώ όταν το συμπέσει με το , είναι . Για κάποια ενδιάμεση θέση του , το

θα γίνει ελάχιστο . Μπορούμε άραγε να βρούμε πότε συμβαίνει αυτό και ποιο είναι το ελάχιστο ;

Με τους συμβολισμούς του σχήματος είναι:

: Ανεξιχνίαστο ελάχιστο.png (10.89 KiB) Προβλήθηκε 250 φορές

$\displaystyle 49 = S{B^2} + x(6 - x) \Leftrightarrow SB = \sqrt {{x^2} - 6x + 49}$ και με $\rm Stewart$ στο AMC,

$\displaystyle SC = \sqrt {{x^2} - 18x + 121}.$ Άρα, $\displaystyle s = f(x) = x + \sqrt {{x^2} - 6x + 49} + \sqrt {{x^2} - 18x + 121}$

Με τη βοήθεια λογισμικού βρίσκω $\boxed{ {s_{\min }} \simeq 17,8106}$ όταν $\boxed{x\simeq 1,47464}$

Ανεξιχνίαστο ελάχιστο

Ανεξιχνίαστο ελάχιστο

Re: Ανεξιχνίαστο ελάχιστο

Μέλη σε σύνδεση