Σύγχρονα κατασκευαστικά προβλήματα

KARKAR · #1

: Σύγχρονα κατασκευαστικά προβλήματα.png (14.11 KiB) Προβλήθηκε 709 φορές

Σημείο

κινείται στην μη κάθετη προς τις βάσεις μη παράλληλη πλευρά

του ορθογωνίου τραπεζίου ABCD

.

Τα τμήματα SA , SB

, τέμνουν τον κύκλο διαμέτρου

στα σημεία P , T

. Βρείτε την θέση του

, για την οποία

ελαχιστοποιείται η χορδή

. Μπορείτε να "αξιοποιήσετε" την εικασία , ότι αυτό θα συμβεί όταν : $TP \parallel CD$ .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Ιουν 27, 2024 9:52 am
Σύγχρονα κατασκευαστικά προβλήματα.pngΣημείο κινείται στην μη κάθετη προς τις βάσεις μη παράλληλη πλευρά του ορθογωνίου τραπεζίου .

Τα τμήματα , τέμνουν τον κύκλο διαμέτρου στα σημεία . Βρείτε την θέση του , για την οποία

ελαχιστοποιείται η χορδή . Μπορείτε να "αξιοποιήσετε" την εικασία , ότι αυτό θα συμβεί όταν : $TP \parallel CD$ .

Έχω μια πιο ισχυρή εικασία που δίδει άμεσα προσδιορισμό του

.

« Το

γίνεται ελάχιστο όταν : $\dfrac{{SA}}{{SB}} = \sqrt {\dfrac{{AD}}{{BC}}}$ ». Μετά με Απολλώνιο κύκλο βρίσκω τη θέση του

.

: Σύγχρονα κατασκευαστικά προβλήματα_Άλλη εικασία.png (16.06 KiB) Προβλήθηκε 665 φορές

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Ιουν 27, 2024 9:52 am
Σύγχρονα κατασκευαστικά προβλήματα.pngΣημείο κινείται στην μη κάθετη προς τις βάσεις μη παράλληλη πλευρά του ορθογωνίου τραπεζίου .

Τα τμήματα , τέμνουν τον κύκλο διαμέτρου στα σημεία . Βρείτε την θέση του , για την οποία

ελαχιστοποιείται η χορδή . Μπορείτε να "αξιοποιήσετε" την εικασία , ότι αυτό θα συμβεί όταν : $TP \parallel CD$ .

Σταθερά είναι : Οι βάσεις του τραπεζίου $AD = a\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BC = b$ , το ύψος του

και το μέσο του

κέντρο του σταθερού ημικυκλίου .

Σταθερό είναι και το ύψος

του σταθερού $\vartriangle OCD$ , Έστω τώρα

το μέσο του

τότε : προφανώς $OM \bot TP\,\,\,\,\left( 1 \right)$ .

Επειδή όμως η ευθεία

είναι αντιπαράλληλος της

, η ευθεία

είναι ο φορέας της από

, συμμετροδιαμέσου του $\vartriangle SAB$ .

Ας είναι

το σημείο τομής της

με την

. Για να είναι η χορδή

ελάχιστη αρκεί η

να διέρχεται από το

.

: Σύγχρονα κατασκευαστικά προβλήματα_Ανάλυση_new.png (32.92 KiB) Προβλήθηκε 633 φορές

Τότε $\widehat {{\theta _1}} = \widehat {{\theta _2}}$ και έτσι , $\dfrac{{EA}}{{EB}} = \dfrac{a}{b}\,\,\,\left( 2 \right)$ , αλλά λόγω της συμμετροδιαμέσου

θα ισχύει και $\dfrac{{S{A^2}}}{{S{B^2}}} = \dfrac{{EA}}{{EB}} = \dfrac{a}{b} \Rightarrow \boxed{\dfrac{{SA}}{{SB}} = \sqrt {\dfrac{a}{b}} }$ .

Η θέση του

είναι η τομή της

με το απολλώνιο κύκλο για κάθε σημείο ,

, του οποίου $\dfrac{{JA}}{{JB}} = \sqrt {\dfrac{a}{b}}$ .

: Σύγχρονα κατασκευαστικά προβλήματα_Κατασκευή.png (34.88 KiB) Προβλήθηκε 633 φορές

S.E.Louridas · #4

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Ιουν 27, 2024 9:52 am
Σημείο κινείται στην μη κάθετη προς τις βάσεις μη παράλληλη πλευρά του ορθογωνίου τραπεζίου .
Τα τμήματα , τέμνουν τον κύκλο διαμέτρου στα σημεία . Βρείτε την θέση του , για την οποία
ελαχιστοποιείται η χορδή . Μπορείτε να "αξιοποιήσετε" την εικασία , ότι αυτό θα συμβεί όταν : $TP \parallel CD$ .

Μία ακόμα άποψη μετά από την άριστη διαπραγμάτευση του Νίκου.

Αν

είναι το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος AB,

τότε λόγω του σταθερού κύκλου με διάμετρο το

η χορδή

θα είναι ελάχιστη αν και μόνο αν η γωνία $\angle POT$ γίνει ελάχιστη δηλαδή η γωνία $\angle BSA$ να είναι η μέγιστη.

Αυτό κατά τα γνωστά επιτυγχάνεται όταν ο κύκλος που ορίζεται από τα σημεία S, B, A

εφάπτεται στην ευθεία CD.

Μετά ταύτα έπεται και το εδώ ζητούμενο.

: kar1.png (49.83 KiB) Προβλήθηκε 521 φορές

Επισήμανση:
Το γνωστό πρόβλημα είναι το:
Έστω δύο ευθείες (e), (k)

μη ταυτιζόμενες. Δίνονται δύο διαφορετικά σημεία B, C

της

Έστω σημείο

που κινείται στην ευθεία

Τότε η γωνία BMC

γίνεται μέγιστη, όταν το σημείο

ταυτιστεί με το σημείο επαφής

του κύκλου που περνά από τα σημεία B, C

και εφάπτεται στην

Παρατήρηση:
Και στη περίπτωση που οι ευθείες είναι παράλληλες και μη ταυτιζόμενες, ισχύει ακριβώς το ίδιο.

Παραθέτουμε το σχήμα της επισήμανσης.

: kark.png (69.39 KiB) Προβλήθηκε 534 φορές

Σύγχρονα κατασκευαστικά προβλήματα

Σύγχρονα κατασκευαστικά προβλήματα

Re: Σύγχρονα κατασκευαστικά προβλήματα

Re: Σύγχρονα κατασκευαστικά προβλήματα

Re: Σύγχρονα κατασκευαστικά προβλήματα

Μέλη σε σύνδεση