Λόγος τμημάτων σε παράλληλες χορδές

Ιάσων Κωνσταντόπουλος · #1

Δίνεται κύκλος και μια χορδή του

Η τετράδα των συνευθειακών διαδοχικών σημείων E,H,I,G

είναι τέτοια ώστε
η χορδή

να διαιρείται σε τρία ευθύγραμμα τμήματα EH,HI,IG

με μήκη αντίστοιχα ίσα με 1,4,2

Θεωρούμε σημείο

του κύκλου και έστω C,D

αντίστοιχα τα σημεία τομής των ευθειών BH,BI

με τον κύκλο

Αν οι χορδές EG,CD

είναι παράλληλες, να υπολογιστεί ο λόγος $\frac{BC}{BD}$

Pi3.1415 · #2

$BH\cdot CH=1\cdot (4+2)=6$ (1)
$BI\cdot ID=5\cdot 2=10$ (2)
Προφανώς τα τρίγωνα BHI

και

είναι όμοια, αφού $HI\parallel CD$ και B,H,C και Β,Ι,D συνευθειακά. Έτσι έχουμε $\frac{BC}{BH}=\frac{BD}{BI}\Leftrightarrow \frac{BC}{BD}=\frac{BH}{BI}$ (3).Τώρα από τις σχέσεις (1),(2) έχουμε: $BH=\frac{6}{CH}$ (4)
$BI=\frac{10}{ID}$ (5). Αντικαθιστώντας στην (3) τις 4,5 έχουμε: $\frac{BC}{BD}=\frac{6\cdot ID }{10\cdot CH}$ (6). Αφού όμως $BHI \sim BCD$ , έχουμε πως $\frac{ID}{CH}=\frac{BD}{BC}$ (7). Αντικαθιστώντας την (7) στην (6) παίρνουμε: $\frac{BC}{BD}=\frac{6\cdot BD}{10\cdot BC}\Rightarrow BC^{2}=\frac{6\cdot BD^{2}}{10}\Rightarrow BC=\frac{\sqrt{3}\cdot BD}{\sqrt{5}}$ . Άρα $\frac{BC}{BD}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}$

Λόγος τμημάτων σε παράλληλες χορδές

Λόγος τμημάτων σε παράλληλες χορδές

Re: Λόγος τμημάτων σε παράλληλες χορδές

Μέλη σε σύνδεση