Εγγεγραμμένο πεντάγωνο σε ημικύκλιο

Μαρία Σαμπάνη · #1

Δίνεται κυρτό πεντάγωνο ΑΒΓΔΕ εγγεγραμμένο σε ημικύκλιο διαμέτρου ΑΕ.Τα σημεία Ζ,Η,Θ,Ι είναι οι προβολές του Γ στις ευθείες ΑΒ,ΕΒ,ΑΔ και ΕΔ αντίστοιχα.Να αποδείξετε οτι η γωνία που σχηματίζεται από τις ευθείες ΖΗ,ΘΙ έχει μισό μέτρο από την γωνία ΒΟΔ, όπου Ο το μέσο του ΑΕ.

Ανδρέας Πούλος · #2

Το ερώτημα είναι το εξής:
Για ποιον λόγο η άσκηση αυτή έχει τεθεί στον φάκελλο του καθηγητή;
Τι το ιδιαίτερο ενδιαφέρον έχει;
Μήπως κάποια γενίκευση, που δεν φαίνεται άμεσα;
Την αντιμετώπισα ως μια τυπική άσκηση στα εγγραμμένα τετράπλευρα και δεν είδα κάτι το ξεχωριστό.

Ανδρέας Πούλος

#3

Μαρία Σαμπάνη έγραψε:Δίνεται κυρτό πεντάγωνο ΑΒΓΔΕ εγγεγραμμένο σε ημικύκλιο διαμέτρου ΑΕ.Τα σημεία Ζ,Η,Θ,Ι είναι οι προβολές του Γ στις ευθείες ΑΒ,ΕΒ,ΑΔ και ΕΔ αντίστοιχα.Να αποδείξετε οτι η γωνία που σχηματίζεται από τις ευθείες ΖΗ,ΘΙ έχει μισό μέτρο από την γωνία ΒΟΔ, όπου Ο το μέσο του ΑΕ.

Καλησπέρα.

: Πεντάγωνο σε ημικύκλιο.png (24.89 KiB) Προβλήθηκε 622 φορές

Οι $\displaystyle{{Z}{\rm H},\Theta {\rm I}}$ , τέμνονται πάνω στη διάμετρο

. Πράγματι, αν

είναι η προβολή του $\Gamma$ πάνω στην

, τότε τα σημεία Z, H, K

είναι συνευθειακά (ευθεία Simson

του τριγώνου ABE

που αντιστοιχεί στο σημείο $\Gamma$ ). Ομοίως και τα $\Theta, I, K$ είναι συνευθειακά.

Τα τετράπλευρα $KE\Theta\Gamma, K\Gamma ZA$ είναι εγγράψιμα.
$\displaystyle{\Theta \widehat {\rm K}{\rm Z} = \Theta \widehat {\rm K}\Gamma + \Gamma \widehat {\rm K}{\rm Z} = \varphi + \omega = \frac{{\tau o\xi ({\rm B}\Delta )}}{2} = \frac{{{\rm B}\widehat {\rm O}\Delta }}{2}}$

Εγγεγραμμένο πεντάγωνο σε ημικύκλιο

Εγγεγραμμένο πεντάγωνο σε ημικύκλιο

Re: Εγγεγραμμένο πεντάγωνο σε ημικύκλιο

Re: Εγγεγραμμένο πεντάγωνο σε ημικύκλιο

Μέλη σε σύνδεση