Άλυτη άσκηση στα τυχαία τετράπλευρα

[arismou]

Μια άσκηση που έθεσα στον εαυτό μου πριν από καιρό αλλά ακόμη μου αντιστέκεται (μεγαλοπρεπώς) είναι η εξής:

Να βρεθεί η ικανή και αναγκαία συνθήκη ώστε οι διχοτόμοι των απέναντι γωνιών ενός τυχαίου κυρτού τετραπλεύρου να τέμνονται εντός του τετραπλεύρου.

Αριστείδης Μουζακίτης

[gbaloglou]

Κάποιες σκέψεις ... αναλυτικές (με κάποιες ... επιφυλάξεις):

Ας πούμε ότι οι τρεις κορυφές είναι γνωστές: όπου θετικοί, είναι δηλαδή ο άξονας των διχοτόμος της . Το ερώτημα είναι: που μπορεί να βρίσκεται η τέταρτη κορυφή, , έτσι ώστε η διχοτόμος της να τέμνει τον άξονα των δεξιά του και εντός του τετραπλεύρου;

Ας παρατηρηθεί εδώ ότι αυτό που θέλουμε είναι ισοδύναμο, αν μεν προς την , αν δε προς την , όπου οι αποστάσεις του από τις αντίστοιχα. Αυτό που μπορούμε επομένως να κάνουμε είναι να βρούμε την εξίσωση και το γράφημα της , και αναλόγως να προσδιορίσουμε τις επιθυμητές περιοχές.

Στο συνημμένο βλέπετε ένα παράδειγμα για : έχω ευνοήτως αντικαταστήσει τα από τα , και έχω παραλείψει τις υπολογιστικές λεπτομέρειες (παραθέτοντας ωστόσο την εξίσωση της ) -- βλέπουμε ότι υπάρχει μία 'μικρή' αποδεκτή περιοχή πάνω από τον άξονα των στα δεξιά φυσικά της , ενώ τα πράγματα είναι πολύ πιο εύκολα κάτω από τον άξονα των ... πλην μιας κάποιας αξιοπρόσεκτης απαγορευμένης περιοχής (που έχω επισημάνει με κόκκινο).

Γιώργος Μπαλόγλου