Πλήθος ριζών

KARKAR · #1

Για τις διάφορες τιμές του πραγματικού

, να βρεθεί ο αριθμός των ριζών

της εξίσωσης : $a\ell n (x+1)=\sqrt{x}$ .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Μαρ 15, 2024 8:13 am
Για τις διάφορες τιμές του πραγματικού , να βρεθεί ο αριθμός των ριζών

της εξίσωσης : $a\ell n (x+1)=\sqrt{x}$ .

• Αν $\displaystyle \alpha \le 0$ , μοναδική ρίζα είναι η $\displaystyle x=0$
Αν $\displaystyle a>0$ και $\displaystyle x>0$ , είναι ισοδύναμη με την $\displaystyle \frac{\ln (x+1)}{\sqrt{x}}=\frac{1}{a}$ (1)
Έστω $\displaystyle f(x)=\frac{\ln (x+1)}{\sqrt{x}}$ , $\displaystyle x>0$
Τότε $\displaystyle {f}'(x)=\frac{2x-(x+1)\ln (x+1)}{2x(x+1)\sqrt{x}}=\frac{g(x)}{2x(x+1)\sqrt{x}}$ , όπου $\displaystyle g(x)=2x-(x+1)\ln (x+1),x>0$
Είναι $\displaystyle {g}'(x)=1-\ln (x+1)$ και $\displaystyle {g}'(x)\ge 0\Leftrightarrow 1\ge \ln (x+1)\Leftrightarrow x\le e-1$
Ακόμα $\displaystyle \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,g(x)=0$ και $\displaystyle \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,g(x)=-\infty$
Από τον πίνακα μονοτονίας έχουμε ότι η $\displaystyle g$ έχει ολικό μέγιστο για $\displaystyle x=e-1$ το $\displaystyle g(e-1)=e-2>0$
καθώς και ότι υπάρχει μια ρίζα $\displaystyle r$ της $\displaystyle g$ (άρα και της $\displaystyle {f}'$ ) με $\displaystyle r>e-1$ .
Κατά συνέπεια η $\displaystyle f$ είναι γνησίως αύξουσα στο $\displaystyle (0,r]$ και γνησίως φθίνουσα στο $\displaystyle [r,+\infty )$ .
Ακόμα $\displaystyle \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,f(x)=0$ , $\displaystyle \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=0$ (εύκολα με κανόνες De l Hospital)
Επίσης $\displaystyle {f}'(r)=0\Leftrightarrow 2r-(r+1)\ln (r+1)=0\Leftrightarrow \ln (r+1)=\frac{2r}{r+1}$
Οπότε $\displaystyle f(r)=\frac{\ln (r+1)}{\sqrt{r}}=\frac{2r}{(r+1)\sqrt{r}}=\frac{2\sqrt{r}}{r+1}$
Επομένως
• Αν $\displaystyle 0<\frac{1}{\alpha }<\frac{2\sqrt{r}}{r+1}\Leftrightarrow \alpha >\frac{r+1}{2\sqrt{r}}$ , η (1) έχει δύο ρίζες (και την $\displaystyle x=0$ )
• Αν $\displaystyle \frac{1}{\alpha }=\frac{2\sqrt{r}}{r+1}\Leftrightarrow \alpha =\frac{r+1}{2\sqrt{r}}$ , η (1) έχει μία ρίζα , την $\displaystyle r$ (και την $\displaystyle x=0$ )
• Αν $\displaystyle \frac{1}{\alpha }>\frac{2\sqrt{r}}{r+1}\Leftrightarrow 0<\alpha <\frac{r+1}{2\sqrt{r}}$ η (1) έχει ρίζα μόνο την $\displaystyle x=0$

Edit : Διορθώθηκαν αβλεψίες

Πλήθος ριζών

Πλήθος ριζών

Re: Πλήθος ριζών

Μέλη σε σύνδεση