Με συνεχή συνάρτηση

Ορέστης Λιγνός · #1

Έστω $f : [0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ μια συνεχής συνάρτηση και $\epsilon >0$ ένας θετικός αριθμός. Να δείξετε ότι υπάρχει k>0

τέτοιο, ώστε

$|f(x)-f(y)|<\epsilon+k|x-y|^{1/2023},$

για κάθε $x,y \in [0,1]$ .

#2

Αφού η

είναι συνεχής σε κλειστό διάστημα, τότε είναι ομοιόμορφα συνεχής σε αυτό. Άρα για κάθε $\varepsilon > 0$ υπάρχει $\delta > 0$ ώστε $|x-y| < \delta \implies |f(x)-f(y)| < \varepsilon$ για κάθε $x,y \in [0,1]$ . Επίσης είναι και φραγμένη σε αυτό, έστω $|f(x)| \leqslant M$ για κάθε $x \in [0,1]$ .

Ορίζω τώρα $k = 2M\delta^{-1/2023}$ . Για $x,y \in [0,1]$ :

Αν $|x-y| < \delta$ , τότε $\displaystyle |f(x)-f(y)| < \varepsilon \leqslant \varepsilon + k|x-y|^{1/2023}$

Αν $|x-y| \geqslant \delta$ , τότε $\displaystyle |f(x)-f(y)| \leqslant |f(x)| + |f(y)| \leqslant 2M \leqslant k|x-y|^{1/2023} <\varepsilon + k|x-y|^{1/2023}$

#3

Ορέστης Λιγνός έγραψε: ↑
Πέμ Αύγ 17, 2023 9:28 am
Έστω $f : [0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ μια συνεχής συνάρτηση και $\epsilon >0$ ένας θετικός αριθμός. Να δείξετε ότι υπάρχει τέτοιο, ώστε

$|f(x)-f(y)|<\epsilon+k|x-y|^{1/2023},$

για κάθε $x,y \in [0,1]$ .

Αλλιώς (ουσιαστικά είναι παραλλαγή, αλλά για να υπάρχει): Από ομοιόμορφη συνέχεια, για το δεδομένο $\varepsilon > 0$ υπάρχει $\delta > 0$ τέτοιο ώστε $|x-y| < \delta \implies |f(x)-f(y)| < \varepsilon$ για κάθε $x,y \in [0,1]$ .

Για τέτοια x,y

το αποδεικτέο είναι άμεσο αφού τότε $|f(x)-f(y)| < \varepsilon \leqslant \varepsilon + k|x-y|^{1/2023}$ .

Eξετάζουμε τώρα τα $x,y \in [0,1]$ με $|x-y| \ge \delta$ . To σύνολο αυτό, δηλαδή το $\{(x,y) \in \mathbb [0,1]\times [0,1]: |x-y| \ge \delta \}$ είναι κλειστό (διότι αν (x_n,y_n)

ακολουθία του που συγκλίνει στο (x,y)

είναι άμεσο ότι και το (x,y)

βρίσκεται στο σύνολο). Είναι και φραγμένο, άρα συμπαγές. Έπεται ότι, σε αυτό το σύνολο, η συνάρτηση

$\dfrac { |f(x)-f(y)| -\varepsilon }{|x-y|^{1/2023}}$

δύο μεταβλητών είναι άνω φραγμένη ως συνεχής. Άρα υπάρχει

τέτοιο ώστε $\dfrac { |f(x)-f(y)| -\varepsilon }{|x-y|^{1/2023}} \le k$ , που ισοδυναμεί με την ζητούμενη.

Με συνεχή συνάρτηση

Με συνεχή συνάρτηση

Re: Με συνεχή συνάρτηση

Re: Με συνεχή συνάρτηση

Μέλη σε σύνδεση