ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΤΙΜΩΝ

#1

ΚΑΛΟ ΜΗΝΑ !

Στην προσπάθειά μου να φτιάξω ένα ερώτημα σε μια άσκηση, χρειάζονταν να έχω ως θεωρία το παρακάτω.Φαίνεται λογικό, αλλά δεν βρήκα το χρόνο να το αποδείξω.Ισχύει όντως ;

Έστω η μη σταθερή συνάρτηση

που είναι συνεχής στο διάστημα $\Delta =(a,b)$ .Αν $f(x)\in (A,B)$ ή $f(x)\in (B,A)$

για κάθε $x\in \Delta =(\alpha ,\beta )$ , όπου $A =\underset{x\to {{a}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)$ και $B=\underset{x\to {{b}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)$ ,

τότε f(D )=(A ,B )

ή $f(\Delta )=(B ,A )$ .

** Tο μη σταθερή δεν χρειάζεται προφανώς.
*** Μπορούμε να ισχυριστούμε (για σχολικά δρώμενα) ότι $(A,B) \subseteq f(D)$ και να τελειώσουμε ;
** Για την κουβέντα πιο πολύ το βάζω , δεν έχει καμία αξία για τις πανελλήνιες.

Λάμπρος Κατσάπας · #2

Μπάμπης Στεργίου έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 01, 2019 9:50 pm
ΚΑΛΟ ΜΗΝΑ !

Στην προσπάθειά μου να φτιάξω ένα ερώτημα σε μια άσκηση, χρειάζονταν να έχω ως θεωρία το παρακάτω.Φαίνεται λογικό, αλλά δεν βρήκα το χρόνο να το αποδείξω.Ισχύει όντως ;

Έστω η μη σταθερή συνάρτηση που είναι συνεχής στο διάστημα $\Delta =(a,b)$ .Αν $f(x)\in (A,B)$ ή $f(x)\in (B,A)$

για κάθε $x\in \Delta =(\alpha ,\beta )$ , όπου $A =\underset{x\to {{a}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)$ και $B=\underset{x\to {{b}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)$ ,

τότε $f(\Delta )=(A ,B )$ ή $f(\Delta )=(B ,A )$ .

** Tο μη σταθερή δεν χρειάζεται προφανώς.
*** Μπορούμε να ισχυριστούμε (για σχολικά δρώμενα) ότι \subseteq και να τελειώσουμε ;
** Για την κουβέντα πιο πολύ το βάζω , δεν έχει καμία αξία για τις πανελλήνιες.

K. Mπάμπη καλό βράδυ!

Είναι σωστό. Το $f(\Delta )\supseteq (A,B)$ είναι άμεσο από ΘΕΤ. Αφού παίρνει οποιαδήποτε ενδιάμεση τιμή μεταξύ των

και

αναγκαστικά $f(\Delta )\supseteq (A,B)$ . Αφού ισχύει και το αντίστροφο έπεται ότι $f(\Delta )=(A,B).$

Περιμένω τηλέφωνο ένα Σάββατο για καφέ!

#3

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 01, 2019 10:04 pm

Μπάμπης Στεργίου έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 01, 2019 9:50 pm
ΚΑΛΟ ΜΗΝΑ !

Στην προσπάθειά μου να φτιάξω ένα ερώτημα σε μια άσκηση, χρειάζονταν να έχω ως θεωρία το παρακάτω.Φαίνεται λογικό, αλλά δεν βρήκα το χρόνο να το αποδείξω.Ισχύει όντως ;

Έστω η μη σταθερή συνάρτηση που είναι συνεχής στο διάστημα $\Delta =(a,b)$ .Αν $f(x)\in (A,B)$ ή $f(x)\in (B,A)$

για κάθε $x\in \Delta =(\alpha ,\beta )$ , όπου $A =\underset{x\to {{a}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)$ και $B=\underset{x\to {{b}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)$ ,

τότε $f(\Delta )=(A ,B )$ ή $f(\Delta )=(B ,A )$ .

** Tο μη σταθερή δεν χρειάζεται προφανώς.
*** Μπορούμε να ισχυριστούμε (για σχολικά δρώμενα) ότι \subseteq και να τελειώσουμε ;
** Για την κουβέντα πιο πολύ το βάζω , δεν έχει καμία αξία για τις πανελλήνιες.
K. Mπάμπη καλό βράδυ!

Είναι σωστό. Το $f(\Delta )\supseteq (A,B)$ είναι άμεσο από ΘΕΤ. Αφού παίρνει οποιαδήποτε ενδιάμεση τιμή μεταξύ των και αναγκαστικά $f(\Delta )\supseteq (A,B)$ . Αφού ισχύει και το αντίστροφο έπεται ότι $f(\Delta )=(A,B).$

Περιμένω τηλέφωνο ένα Σάββατο για καφέ!

Συμφωνώ ! Να ξέρεις όμως ότι θα βρεις πολλούς που δεν θα θεωρήσουν μια τέτοια προσέγγιση σχολική. Πρόβλημά τους, θα μου πεις ! Στην πραγματικότητα είναι η μέθοδος(πρόταση) του βιβλίου, μόνο που τη μονοτονία εδώ την αντικαθιστούμε με το ότι οι τιμές είναι μέσα στο (A,B)

. Όλα τα άλλα είναι συνέπεια της συνέχειας, δηλαδή του ΘΕΤ.

Μάρκος Βασίλης · #4

Μπάμπης Στεργίου έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 02, 2019 3:36 pm
Συμφωνώ ! Να ξέρεις όμως ότι θα βρεις πολλούς που δεν θα θεωρήσουν μια τέτοια προσέγγιση σχολική. Πρόβλημά τους, θα μου πεις ! Στην πραγματικότητα είναι η μέθοδος(πρόταση) του βιβλίου, μόνο που τη μονοτονία εδώ την αντικαθιστούμε με το ότι οι τιμές είναι μέσα στο . Όλα τα άλλα είναι συνέπεια της συνέχειας, δηλαδή του ΘΕΤ.

Ίσως η μόνη ένσταση να είναι στο ότι δε χρησιμοποιείται συχνά το επιχείρημα:

$\displaystyle{A\subseteq B∧B⊆ A\Leftrightarrow A=B,}$

στα σχολικά μαθηματικά. Τουλάχιστον όχι άμεσα και ρητά.

Λάμπρος Κατσάπας · #5

Μάρκος Βασίλης έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 02, 2019 10:32 pm

Μπάμπης Στεργίου έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 02, 2019 3:36 pm
Συμφωνώ ! Να ξέρεις όμως ότι θα βρεις πολλούς που δεν θα θεωρήσουν μια τέτοια προσέγγιση σχολική. Πρόβλημά τους, θα μου πεις ! Στην πραγματικότητα είναι η μέθοδος(πρόταση) του βιβλίου, μόνο που τη μονοτονία εδώ την αντικαθιστούμε με το ότι οι τιμές είναι μέσα στο . Όλα τα άλλα είναι συνέπεια της συνέχειας, δηλαδή του ΘΕΤ.
$\displaystyle{A\subseteq B∧B⊆ A\Leftrightarrow A=B,}$

Στο βιβλίο Άλγεβρας Α Λυκείου αναφέρετε ρητά.

Μάρκος Βασίλης · #6

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 02, 2019 11:22 pm

Μάρκος Βασίλης έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 02, 2019 10:32 pm

Μπάμπης Στεργίου έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 02, 2019 3:36 pm
Συμφωνώ ! Να ξέρεις όμως ότι θα βρεις πολλούς που δεν θα θεωρήσουν μια τέτοια προσέγγιση σχολική. Πρόβλημά τους, θα μου πεις ! Στην πραγματικότητα είναι η μέθοδος(πρόταση) του βιβλίου, μόνο που τη μονοτονία εδώ την αντικαθιστούμε με το ότι οι τιμές είναι μέσα στο . Όλα τα άλλα είναι συνέπεια της συνέχειας, δηλαδή του ΘΕΤ.
$\displaystyle{A\subseteq B∧B⊆ A\Leftrightarrow A=B,}$

Στο βιβλίο Άλγεβρας Α Λυκείου αναφέρετε ρητά.

Ναι, αναφέρεται σαν 3η συνέπεια του ορισμού στο εισαγωγικό κεφάλαιο, αλλά - ίσως δεν το έθεσα σαφώς - δεν είναι ένα τυπικό επιχείρημα που να χρησιμοποιεί το σχολικό βιβλίο συχνά. Εκεί ίσως κανείς να φέρει αντίρρηση σε σχέση με ασκήσεις που απαιτούν ισότητα συνόλων.

Για να είμαι ξεκάθαρος, προσωπικά δεν θεωρώ τέτοιες προσεγγίσεις εκτός πνεύματος, αλλά μπορώ να δω γιατί κάποιος ενδέχεται να τις θεωρήσεις εκτός.

ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΤΙΜΩΝ

ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΤΙΜΩΝ

Re: ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΤΙΜΩΝ

Re: ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΤΙΜΩΝ

Re: ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΤΙΜΩΝ

Re: ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΤΙΜΩΝ

Re: ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΤΙΜΩΝ

Μέλη σε σύνδεση