Κυρτή σε ανοιχτό διάστημα

Συντονιστής: emouroukos

Άβαταρ μέλους
M.S.Vovos
Δημοσιεύσεις: 883
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2015 5:45 pm

Κυρτή σε ανοιχτό διάστημα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από M.S.Vovos » Κυρ Δεκ 31, 2017 1:55 am

Έστω f:(a,b)\longrightarrow \mathbb{R} συνεχής συνάρτηση. Δείξτε ότι η f είναι κυρτή αν και μόνο αν \displaystyle{f(x)\leq \frac{1}{2\delta }\int_{-\delta }^{\delta }f(x+t)\textup{d}t} για κάθε διάστημα \displaystyle{\left [ x-\delta ,x+\delta  \right ]\subset (a,b)}.

Φιλικά,
Μάριος


Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham

Λέξεις Κλειδιά:
dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1405
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: Κυρτή σε ανοιχτό διάστημα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Τρί Ιαν 02, 2018 4:47 pm

( \Longrightarrow ) Έστω η f κυρτή. Τότε, για κάθε [x-t,x+t] \subset (a,b) ισχύει \displaystyle f(x) \leqslant \frac{f(x+t) + f(x-t)}{2}. Ολοκληρώνουμε για t από 0 ως \delta και παίρνουμε \displaystyle \int_0^{\delta} f(x) \mathrm{d}t \leqslant \int_0^{\delta} \frac{f(x+t) + f(x-t)}{2} \mathrm{d}t \implies f(x) \leqslant \frac{1}{2 \delta} \int_{x - \delta}^{x + \delta} f(t) \mathrm{d}t

( \Longleftarrow ) Έστω η f μη κυρτή. Τότε θα υπάρχουν p < q < r με \displaystyle f(q) > \frac{r-q}{r-p} f(p) + \frac{q-p}{r-p} f(r). Ονομάζουμε \displaystyle c \equiv \frac{f(r)-f(p)}{r-p} και ορίζουμε τη συνάρτηση \displaystyle g(x) \equiv f(x) - c x. Η g είναι συνεχής και ισχύει g(p) = g(r) < g(q). Έστω x_0 \in [p,r] με \displaystyle g(x_0) = \max_{[p,r]} g(x). Λόγω του προηγουμένου, x_0 \in (p,r). Παίρνουμε \delta > 0 με [x_0 - \delta, x_0 + \delta] \subset (p,r) και τέτοιο ώστε το g \left([x_0 - \delta, x_0 + \delta] \right) να μην είναι μονοσύνολο (υπάρχει λόγω συνέχειας). Παρατηρούμε ότι \displaystyle \int_{x_0 - \delta}^{x_0 + \delta} g(x_0) \mathrm{d}t > \int_{x_0 - \delta}^{x_0 + \delta} g(t) \mathrm{d}t \implies 2 \delta f(x_0) - 2 \delta c x_0 > \int_{x_0 - \delta}^{x_0 + \delta} f(t) \mathrm{d}t  - 2 \delta c x_0 από όπου έπεται το ζητούμενο.


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Ανάλυση”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης