Κυρτή σε ανοιχτό διάστημα

M.S.Vovos · #1

Έστω $f:(a,b)\longrightarrow \mathbb{R}$ συνεχής συνάρτηση. Δείξτε ότι η

είναι κυρτή αν και μόνο αν $\displaystyle{f(x)\leq \frac{1}{2\delta }\int_{-\delta }^{\delta }f(x+t)\textup{d}t}$ για κάθε διάστημα $\displaystyle{\left [ x-\delta ,x+\delta \right ]\subset (a,b)}$ .

Φιλικά,
Μάριος

dement · #2

$( \Longrightarrow )$ Έστω η

κυρτή. Τότε, για κάθε $[x-t,x+t] \subset (a,b)$ ισχύει $\displaystyle f(x) \leqslant \frac{f(x+t) + f(x-t)}{2}$ . Ολοκληρώνουμε για

από

ως $\delta$ και παίρνουμε $\displaystyle \int_0^{\delta} f(x) \mathrm{d}t \leqslant \int_0^{\delta} \frac{f(x+t) + f(x-t)}{2} \mathrm{d}t \implies f(x) \leqslant \frac{1}{2 \delta} \int_{x - \delta}^{x + \delta} f(t) \mathrm{d}t$

$( \Longleftarrow )$ Έστω η

μη κυρτή. Τότε θα υπάρχουν p < q < r

με $\displaystyle f(q) > \frac{r-q}{r-p} f(p) + \frac{q-p}{r-p} f(r)$ . Ονομάζουμε $\displaystyle c \equiv \frac{f(r)-f(p)}{r-p}$ και ορίζουμε τη συνάρτηση $\displaystyle g(x) \equiv f(x) - c x$ . Η

είναι συνεχής και ισχύει g(p) = g(r) < g(q)

. Έστω $x_0 \in [p,r]$ με $\displaystyle g(x_0) = \max_{[p,r]} g(x)$ . Λόγω του προηγουμένου, $x_0 \in (p,r)$ . Παίρνουμε $\delta > 0$ με $[x_0 - \delta, x_0 + \delta] \subset (p,r)$ και τέτοιο ώστε το $g \left([x_0 - \delta, x_0 + \delta] \right)$ να μην είναι μονοσύνολο (υπάρχει λόγω συνέχειας). Παρατηρούμε ότι $\displaystyle \int_{x_0 - \delta}^{x_0 + \delta} g(x_0) \mathrm{d}t > \int_{x_0 - \delta}^{x_0 + \delta} g(t) \mathrm{d}t \implies 2 \delta f(x_0) - 2 \delta c x_0 > \int_{x_0 - \delta}^{x_0 + \delta} f(t) \mathrm{d}t - 2 \delta c x_0$ από όπου έπεται το ζητούμενο.

Κυρτή σε ανοιχτό διάστημα

Κυρτή σε ανοιχτό διάστημα

Re: Κυρτή σε ανοιχτό διάστημα

Μέλη σε σύνδεση