γενικευμένο ολοκλήρωμα

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΡΑΤΟΣ · #1

Έστω $\displaystyle{ g:[0,\, + \infty ) \to R }$ συνεχής συνάρτηση με $\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } g(x) = a > 0 }$ .Να δειχθεί ότι $\displaystyle{ \int_0^{ + \infty } {g(x)} dx = + \infty }$

algal · #2

!!! Ζητώ συγνώμη για τη λακωνικότητα της προηγούμενης δημοσίευσης μου και αντί αυτής, θα παρουσιάσω πιο αναλυτικά τη λύση.

Αρχικά $\int_{0}^{+\propto}{g(t)dt}=\lim_{x \rightarrow +\propto} \int_{0}^{x}{g(t)dt}$ .
Σκοπός είναι να δείξουμε ότι $\int_{0}^{x}{g(t)dt} \geq h(x)$ η οποία έχει την ιδιότητα $\lim_{x \rightarrow \propto }h(x)=+ \propto$
Ο εψιλοντικός ορισμός του ορίου $\lim_{x\rightarrow+ \propto}g(x)=a>0$ λέει ότι:
για κάθε $\varepsilon >0$ υπάρχει c>0

, τέτοιο ώστε για κάθε $x \in [0,+ \propto]$ με x>c

να έχουμε: $|g(x)-a|< \varepsilon$ ή ισοδύναμα:
$a-\varepsilon<g(x)<a+\varepsilon$ . Εφόσον επιλέγουμε ελεύθερα το $\varepsilon$ μπορούμε να επιλέξουμε $\varepsilon=\frac{a}{2}$ . Από το πρώτο μέλος της ανισότητα παίρνουμε ότι: $g(x)>\frac{a}{2}$
Έχουμε τώρα:
$\int_{0}^{x}{g(t)dt}=\int_{0}^{c}{g(t)dt}+\int_{c}^{x}{g(t)dt}$ , όπου το

είναι το αυτό του ορισμού του ορίου.
Από την ανισότητα $g(x)>\frac{a}{2}$ εφόσον το ολοκλήρωμα διατηρεί την φορά $\int_{c}^{x}{g(t)d(t)}>\frac{a}{2} \int_{c}^{x}{dt}=\frac{(x-c)a}{2}$ .
Επομένως:
$\int_{0}^{x}{g(t)dt}=\int_{0}^{c}{g(t)dt}+\int_{c}^{x}{g(t)dt}>\int_{0}^{c}{g(t)dt}+\frac{(x-c)a}{2}$ .
Επομένως το ρόλο της

παίζει το τελευταίο μέλος της ανισότητας αφού $\lim_{x\rightarrow\+\propto}\frac{(x-c)a}{2}=+\propto$
Κι αφού το όριο διατηρεί την ανισότητα παίρνουμε ότι:
$\lim_{x\rightarrow +\propto}\int_{0}^{x}{g(t)dt}\geq\lim_{x\rightarrow +\propto}(\frac{a(x-c)}{2}+\int_{0}^{c}{g(t)dt})$ . Και το ζητούμενο δείχθηκε!

γενικευμένο ολοκλήρωμα

γενικευμένο ολοκλήρωμα

Re: γενικευμένο ολοκλήρωμα

Μέλη σε σύνδεση