Ολοκλήρωμα και απόλυτη τιμή

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΡΑΤΟΣ · #1

Έστω $\displaystyle{ f:\left[ {1,3} \right] \to R }$ παραγωγίσιμη συνάρτηση με συνεχή παράγωγο. Να αποδειχθεί
α. $\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \int_1^3 {f(x)\cos (nx)dx} = 0 }$
β. $\displaystyle{ \left| {f(2) - f(1)} \right| + \left| {f(3) - f(2)} \right| \le \int_1^3 {\left| {f'(x)} \right|} dx }$ .

Garfield · #2

(a) $\displaystyle{ \int_{1}^{3} f(x) \cos (nx) dx = \frac{1}{n} f(x) \sin (nx) |_1^3 - \frac{1}{n} \int_{1}^{3} f'(x) \sin (nx) dx }$

$\displaystyle{ \implies \left | \int_{1}^{3} f(x) \cos (nx) dx \right | \leq \frac{1}{n} \left | f(3) sin(3n) - f(1)sin(n) \right | + \frac{1}{n} \int_{1}^{3} |f'(x)| | \sin (nx) | dx \leq \frac{1}{n} (|f(3)|+ |f(1)|) + \frac{2}{n} \max_{x \in [1,3]}|f'(x)| \to 0 }$

(b) Παρατηρούμε ότι:

$\displaystyle{ \bullet \left| f(2) - f(1) \right| = \left| \int_{1}^{2} f'(x) dx \right| \leq \int_{1}^{2} \left| f'(x) \right | dx }$

$\displaystyle{ \bullet \left| f(3) - f(2) \right| = \left| \int_{2}^{3} f'(x) dx \right| \leq \int_{2}^{3} \left| f'(x) \right | dx }$

Με πρόσθεση κατά μέλη των παραπάνω έπεται το ζητούμενο.

Ολοκλήρωμα και απόλυτη τιμή

Ολοκλήρωμα και απόλυτη τιμή

Re: Ολοκλήρωμα και απόλυτη τιμή

Μέλη σε σύνδεση