Aρκεί;;

#1

Διαβάζοντας στο διαδίκτυο,το μάτι μου έπεσε στο εξής...
Έστω πως έχουμε εφαρμόσει το Θ.Βolzano για τη συνεχή και παραγωγίσιμη συνάρτηση f σε διάστημα Δ=[α,β] και έχουμε βρεί πως υπάρχει ξ στο (α,β) ώστε f(ξ)=0. Αν θελήσουμε να δείξουμε πως το ξ είναι μοναδική ρίζα της f(x)=0 , αρκεί η
(γνήσια) μονοτονία της f ; Απο τα συμφραζόμενα κατάλαβα πως δεν...αρκεί !! Τι λέτε;

Ιστοσελίδα · #2

Δεν αρκεί.
π.χ. η f(x)=x^3 είναι γνήσια αύξουσα στο [-1,1] και η εξίσωση f(x)=0 έχει τριπλή ρίζα το μηδέν.

mathxl · #3

mLpapagr έγραψε:Δεν αρκεί.
π.χ. η f(x)=x^3 είναι γνήσια αύξουσα στο [-1,1] και η εξίσωση f(x)=0 έχει τριπλή ρίζα το μηδέν.

Καλησπέρα
Νομίζω ότι αρκεί.

Από το παράδειγμα με την χ^3, βγάζουμε συμπέρασμα ότι το ξ=0 είναι μοναδική ρίζα (δεν έχει άλλη ρίζα διαφορετική του 0). Αυτό που δεν μπορούμε να εξάγουμε ως συμπέρασμα είναι το εάν είναι απλή ή πολλαπλή ( εάν θυμάμαι καλά για τις πολυωνυμικές ισχύει εάν είναι ρίζα της φ και της παραγώγου έχει πολλαπλότητα 2 , εάν είναι ρίζα και της δεύτερης παραγώγου έχει πολλαπλότητα 3 κοκ) Δεν ξέρω εάν αυτό ισχύει και για μη πολυωνυμικές ( ίσως γίνεται απόδειξη με ανάπτυγμα τέιλορ. δεν το έχω ψάξει)

Ιστοσελίδα · #4

Το μήνυμα αυτό είναι προσθήκη στο προηγούμενο μήνυμά μου

Το παράδειγμα που έδωσα σε προηγούμενο μήνυμα με τη συνάρτηση f(x)=x^3 και τις τρείς ρίζες που έχει η αντίστοιχη εξίσωση f(x)=0, είναι απάντηση στο ερώτημα του chris-gatos έτσι ακριβώς όπως είναι διατυπωμένο, στο οποίο δεν υπάρχει η λέξη διαφορετικές ρίζες. Άλλωστε η λέξη διαφορετικές είναι που κάνει την διαφορά.
Αν υπήρχε η μονοτονία θα ήταν αρκετή.
Να μου επιτρέψετε να διευκρινίσω για τους μαθητές που πιθανόν μας παρακολουθούν ότι ότι η εξίσωση x^3=0 έχει τρείς ρίζες που είναι ίσες μεταξύ τους.
Μια εξαιρετική εργασία έχει κάνει για το θέμα αυτό ο συνάδελφος Νίκος Ιωσηφίδης στο πρώτο τεύχος του Απολλώνιος σελίδα 50 έως 55

#5

Καλησπέρα...Θα ήθελα να ακούσω και τη γνώμη άλλων συναδέλφων...Απλα ορισμένες φορές νιώθω οτι διυλίζουμε τον κώνωπα..

#6

mLpapagr έγραψε:Μια εξαιρετική εργασία έχει κάνει για το θέμα αυτό ο συνάδελφος Νίκος Ιωσηφίδης στο πρώτο τεύχος του Απολλώνιος σελίδα 50 έως 55

Παρακολουθώντας τη συζήτηση, πιστεύω ότι έχει ενδιαφέρον και θα βοηθήσει τη συζήτηση η εργασία του Νίκου που ανέφερε ο Μίλτος.

Είχα την ευθύνη της σελιδοποίησης του Απολλώνιου, οπότε έχω σε pdf το κείμενο.

Να επαναλάβω την παρότρυνση (ειδικά στους νέους συναδέλφους) να αναζητούν, να αγοράζουν, να μελετούν και να στηρίζουν τα Μαθηματικά περιοδικά!

Φιλικά
Γιώργος Ρίζος

Μόλις είδα τη δημοσίευση του Χρήστου:
Χρήστο, άκουσα στις ειδήσεις για το επικίνδυνο κουνούπι "τίγρης". Δίνω το κείμενο του Νίκου για να γίνει με τον πιο έγκυρο τρόπο η διύλιση!

mathxl · #7

Μίλτο Π.
Από μαθηματικής άποψης ως προς το πλήθος των ριζών έχεις δίκιο αλλά οι ασκήσεις που αφορούν ύπαρξη και ζητούν μονοδικότητα αντιμετωπίζονται συνήθως με 1-1 μονοτονία ή άτοπο , οι μαθητές που μπορεί να παρακολουθούν, δεν έχουν τα εργαλεία ( προτάσεις) για να ελέγξουν την πολλαπλότητα ( επιπλέον δεν δισκάσκονται πολλαπλότητα ρίζας) , οπότε όταν ζητάμε μοναδικότητα αναφερόμαστε στον αποκλεισμό ύπαρξης διαφορετικής ρίζας.
Αυτή είναι η γνώμη μου
ΠΡΟΣΘΗΚΗ: Έχει ενδιαφέρον για όσους δεν το έχουν δοκιμάσει ακόμα) να λύσετε την άσκηση του σχολικού βιβλίου στην σελίδα 267 , άσκηση 2 δεύτερο υποερώτημα με σύνολο τιμών και να ρωτήσετε τους μαθητές πόσες ρίζες έχει η εξίσωση ( προσωπικά την λύνω με σχήμα χόρνερ και τους υπενθυμίζω να μην πετάνε στα σκουπίδια την άλγεβρα της Β΄λυκείου) $\displaystyle{g\left( x \right) = {x^3} - 3x + 2}$ Πόσες ρίζες έχει;

#8

…επομένως ποιο είναι το ακριβές;
Το:
Η εξίσωση έχει μία ρίζα με πολλαπλότητα 3,
ή το:
Η εξίσωση έχει έχει τρεις ίσες ρίζες με πολλαπλότητα 3;

#9

Χωρίς πλάκα...Κώστα αυτό μου το πήρες απο το στόμα! Διάβαζα την απόδειξη του...άλλου Κώστα(Σερίφη) και είχα απορροφηθεί!

#10

rek2 έγραψε:…επομένως ποιο είναι το ακριβές;
Το:
Η εξίσωση έχει μία ρίζα με πολλαπλότητα 3,
ή το:
Η εξίσωση έχει έχει τρεις ίσες ρίζες με πολλαπλότητα 3;

Η πολυωνυμική εξίσωση έχει μία ακριβώς ρίζα με πολλαπλότητα 3 !

Αυτό γίνεται για λόγους ενιαίας αντιμετώπισης των σχετικών θεμάτων στην γ΄Λυκείου, αλλά και για άλλους. Στο θεμελιώδες θεώρημα ο όρος '' ν - ρίζες '' , έχει την έννοια ότι το άθροισμα των πολλαπλοτήτων των ριζών είναι ν .Στην ανάλυση ο όρος '' ν ρίζες '' έχει πιο πολύ την έννοια ότι η γραφική παράσταση τέμνει τον άξονα χ΄χ σε ν διαφορετικά σημεία . Για να μη δημιουργείται διάκριση ανάμεσα σε πολυωνυμικές συναρτήσεις ή άλλες συναρτήσεις, αλλά και επειδή η έννοια πολλαπλότητα δεν είναι διδαγμένη εκτενώς, υιοθετούμε την αποδοχή :'' ν ρίζες εξίσωσης σημαίνει γενικά ν διαφορετικές ρίζες !''.
Αν δεν συμφωνήσουμε σε αυτό, τότε δεν θα μπορούμε να επικοινούμε με σαφήνεια.Φυσικά , σε αυτή την περίπτωση , όλοι θα έχουν δίκαιο !

Μπάμπης

iolis · #11

Αν θυμάμαι καλά παλιά(τέλη δεκαετίας 80) λέγαμε ότι οι εξισώσεις έχουν λυσεις και οι συναρτήσεις ρίζες. Π.χ λέγαμε ότι η εξίσωση x^3=0

έχει τρεις λύσεις ίσες , τις x=0

ενώ λέγαμε ότι η συνάρτηση f(x)=x^3

έχει μια ρίζα την x=0

γιατί λέγοντας '' ρίζα '' εννοούσαμε σε ποσα σημεία η ${C_f}$ τέμνει τον $x^{\prime}x$ . Με την αλλαγή των βιβλίων, σ' αυτό της Α. Λυκείου έγινε η παραδοχή ότι οι ρίζες του τριωνύμου είναι οι λύσεις της αντίστοιχης 2βαθμιας , η οποία έτσι διατυπωμένη , κατά την άποψή μου, δεν είναι λάθος. Από κει και μετά σταδιακά χάθηκε όχι η μπάλλα αλλά το γήπεδο. Στο συνέδριο της ΕΜΕ στη Βέροια συζητούσαμε μ' ένα συνάδελφο για το θέμα αυτό και τη συγχηση που μπορεί να δημιουργηθεί. Όπως καταλαβαίνετε αυτά μου φαίνονται μακρινά και μπορεί να κάνω λάθος. Πάντως στους μαθητές μου κάνω τη διευκρίνηση που είπα στην αρχή. Τέλος το θεώρημα είναι των Bolzano - Weierstrass(συμπληρώθηκε από τον 2ο νομίζω) και είναι η βάση της '' μεθόδου της διχοτόμησης '' για τη προσέγγιση των ρίζων μιας εξίσωσης. Ίσως και αυτό να παίζει το ρόλο του.
Τα λέμε , γιατί το πρωί έχουμε και το kangaroo.

#12

Καλή σας μέρα.
Καλή επιτυχία στους φίλους υποψηφίους στις εκλογές της ΕΜΕ.
Πρέπει να καταστεί απολύτως σαφές (το ανέφεραν ο Βασίλης και ο Μπάμπης και το επαναλαμβάνω) ότι όταν ζητάμε από ένα μαθητή να βρεί το πλήθος των ριζών μίας συνάρτησης

ή το πλήθος των λύσεων μίας εξίσωσης f(x)=0

αναφερόμαστε στο πλήθος των ανα δύο διάφορων πραγματικών αριθμών που μηδενίζουν την συνάρτηση ή επαληθεύουν την εξίσωση. Σε μια πιό τυπική διατύπωση: Τον πληθάριθμο του συνόλου $Z\left( f\right) =\left\{ x\in \mathbb{R}|f\left( x\right) =0\right\}$
Η υποχρέωση του αρχίζει και τελειώνει με αυτό το μέτρημα.
Η επισήμανση αυτή ισχύει και για τις πολυωνυμικές εξισώσεις στην Β' τάξη. Και εκεί ο μαθητής δεν έχει καμμία υποχρέωση να αναφερθεί σε πολλαπλότητα ρίζας. 'Ασχετα με το αν του είναι ως έννοια χρήσιμη όταν πρέπει να χειρισθεί πολυωνυμικές ανισώσεις. Το ότι κάποιοι καθηγητές διδάσκουν την έννοια της πολλαπλότητας ρίζας πολυωνύμου δεν αλλάζει τα πράγματα.
Υπάρχει στα Μαθηματικά ένας μηχανισμός απόδοσης πολλαπλότητας στις ρίζες που δουλεύει σε διάφορα επίπεδα
Α) Σε πολυώνυμα κατά τα γνωστά
Β) Για απεριόριστα παραγωγίσιμες συναρτήσεις (αναφέρθηκε σε αυτό και ο Βασίλης)

η πολλαπλότητα μίας ρίζας $\rho$ ορίζεται ως o φυσικός

για τον οποίο ισχύει
$\displaystyle f^{\left( 0\right) }\left( \rho \right) =f^{\left( 1\right) }\left( \rho \right) =...f^{\left( k-1\right) }\left( \rho \right) =0\neq f^{\left( k\right) }\left( \rho \right)$
Aυτό έχει ως συνέπεια το γεγονός ότι το ανάπτυγμα Taylor (και σε αυτό αναφέρθηκε ο Βασίλης) της

στο $\rho$ έχει την μορφή
$\displaystyle \sum\limits_{n=k}^{\infty }\frac{1}{n!}f^{\left( n\right) }\left( \rho \right) \left( x-\rho \right) ^{n}$
και επομένως
$\displaystyle\lim\limits_{x\rightarrow \rho }\frac{\sum\limits_{n=k}^{\infty }\frac{1}{n!}f^{\left( n\right) }\left( \rho \right) \left( x-\rho \right) ^{n}}{\left( x-\rho \right) ^{k} }}=f^{\left( k\right) }\left( \rho \right) \in \mathbb{R}$
που μας υποβάλλει και τον πολύ γενικότερο ορισμό για συναρτήσεις που δεν είναι κατ' ανάγκην παραγωγίσιμες αλλά είναι απλώς συνεχείς:
Γ) Αν η

είναι συνεχής τότε η πολλαπλότητα μίας ρίζας $\rho$ ορίζεται ως ο μέγιστος φυσικός

για τον οποίο το όριο
$\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow \rho }\frac{f\left( x\right) }{\left( x-\rho \right) ^{k} }}$
υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός.
'Ομως, όπως επισημάνθηκε, οι μαθητές μας δεν έχουν κανένα τρόπο να αποδίδουν πολλαπλότητα σε ρίζες. Το αυτό ισχύει και για τα σημεία τομής καμπυλών (λόγου χάρη η εφαπτομένη ενός κύκλου λέμε ότι έχει ένα κοινό σημείο με τον κύκλο και δεν λέμε ότι έχει ένα διπλό κοινό σημείο). Από αυτή την άποψη το (κατά τα άλλα καλογραμμένο) άρθρο του συναδέλφου Νίκου Ιωσηφίδη που είχε την καλωσύνη να ανεβάσει ο Γιώργος μάλλον περιπλέκει τα πράγματα παρά τα ξεκαθαρίζει. Και τούτο διότι ζητάει από τους μαθητές να κάνουν πράγματα που δεν προκύπτει από πουθενά ότι έχουν υποχρέωση να κάνουν (ούτε το 2002 είχαν).
Παραθέτω και δύο σημεία του άρθρου όπου η διαφωνία μου είναι εντονότερη:

: multi1.png (14.11 KiB) Προβλήθηκε 4965 φορές

: multi2.png (15.13 KiB) Προβλήθηκε 4966 φορές

Από το άρθρο προκύπτει ότι ο μαθητής πρέπει να μετράει τις πολλαπλότητες ριζών στις πολυωνυμικές συναρτήσεις ενώ στις υπόλοιπες όχι.
Η γνώμη μου είναι ότι δεν οφείλει να μετράει την πολλαπλότητα σε καμμία περίσταση και επομένως αν παραθέσει την λύση του πρώτου συνημμένου αυτή θεωρείται εντελώς σωστή.
Μαυρογιάννης

#13

Καλημέρα. Μετά απο την εξάσκηση του εκλογικού μου δικαιώματος( με χαρά για πρώτη φορά,ποτέ δεν είναι αργά),να ευχαριστήσω το Νίκο Μαυρογιάννη για τα φώτα του και την εργασία του,αλλά και όλους τους προλαλήσαντες...

ΝΛΙ · #14

Παρακολουθώ το θέμα ΑΡΚΕΙ;. Μου δίνεται η αφορμή να προσθέσω δύο συνημμένα που αφορούν τους συναδέλφους, αλλά και τους μαθητές
α) Εισήγησή μου της 7-3-07 στα πλαίσια της Μαθηματικής εβδομάδας στη Θεσ/νίκη με αφορμή θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων
β) Εισήγησή μου σε ημερίδα στην Κοζάνη με τίτλο: ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ. ΣΗΜΕΙΑ ΠΟΥ ΧΡΕΙΑΖΟΝΤΑΙ ΙΔΙΑΙΤΕΡΗ ΠΡΟΣΟΧΗ που αφορά όπως και ο τίτλος λέει κάποια σκοτεινά σημεία των παραγώγων.

Νίκος Ιωσηφίδης
Μαθηματικός - Φροντιστής
Βέροια
e-mail: iossifid@yahoo.gr

Aρκεί;;

Aρκεί;;

Re: Aρκεί;;

Re: Aρκεί;;

Re: Aρκεί;;

Re: Aρκεί;;

Re: Aρκεί;;

Re: Aρκεί;;

Re: Aρκεί;;

Re: Aρκεί;;

Re: Aρκεί;;

Re: Aρκεί;;

Re: Aρκεί;;

Re: Aρκεί;;

Re: Aρκεί;;

Μέλη σε σύνδεση