0,999...=1

Μάρκος Βασίλης · #1

Αυτό εδώ το θέμα μου θύμισε μία συζήτηση που είχα σε κάποια φάση με κάποιους μαθητές της Γ' Λυκείου (από μέτριους σε επιδόσεις έως άριστους). Με ρώτησαν, λοιπόν, συνοπτικά, γιατί λέμε ότι $0.999\ldots=1$ . Στην αρχή είπα να τους θυμίσω την απόδειξη που έχει στα βιβλία του γυμνασίου, που, γενικά, δε θεωρώ ότι έχει κάποια διδακτική αξία (ή, ενδεχομένως, δεν έχω δει εγώ ακόμα τη διδακτική αξία της):

$x=0.999\ldots\Leftrightarrow$
$\Leftrightarrow10x=9.999\ldots\Rightarrow$
$\Rightarrow10x-x=9.999\ldots-0.999\ldots\Leftrightarrow$
$\Leftrightarrow9x=9\Leftrightarrow$
$\Leftrightarrow x=1$

Ωστόσο, η απόπειρα αυτή έπεσε στο κενό, μιας και μου ζήτησαν μια εξήγηση που να μην μοιάζει με τέχνασμα (όχι ότι είχαν και άδικο, εδώ που τα λέμε).

Έτσι, έκανα την εξής απόπειρα. Θεωρούμε τους αριθμούς $a_n=0.\underbrace{99\ldots9}_{n}$ για τους οποίους εύκολα βλέπουμε ότι $a_n<0.999\ldots$ και, υποθέτουμε, ότι $0.999\ldots<1$ (το να είναι μεγαλύτερο το απορρίπτουν και οι μαθητές διαισθητικά). Τότε, οι δύο αριθμοί, 1 και $0.999\ldots$ , έχουν κάποια απόσταση, αφού $1-0.999\ldots>0$ . Έπειτα από λίγη κουβέντα συμφωνήσαμε ότι μπορούμε να βρούμε έναν αριθμό της μορφής $10^{-m}$ , για κάποιο

τέτοιον ώστε $1-0.999\ldots>10^{-m}$ . Όμως, ισχύει και το εξής:
$10^{-m}=1-a_m,$
οπότε και βλέπουμε ότι, για το εν λόγω

έχουμε $a_m>0.999\ldots$ , άτοπο.

Από αυτήν την προσέγγιση πείστηκε (και εντυπωσιάστηκε) η μαθήτρια που, κατ' εμέ, είχε την καλύτερη διαίσθηση και μαθηματική παιδεία στο τμήμα. Αλλά οι υπόλοιποι, λίγο έως πολύ, δεν έδειχναν και πολύ πεπεισμένοι.

Έπειτα, δοκίμασα και το εξής (η κουβέντα έγινε μετά τη λήξη του μαθήματος, οπότε δεν είχαμε ιδιαίτερο θέμα χρόνου). Έγραψα έναν από τους αριθμούς a_n

στη μορφή (μετά από πράξεις και χωρίς το σύμβολο του αθροίσματος):
$\displaystyle a_n=\frac{9}{10}\sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{10^k}.$
Το οποίο από τον τύπο για το άθροισμα όρων γεωμετρικής προόδου είναι ίσο με:
$\displaystyle a_n=1-10^n.$

Επίσης, σχετικά εύκολα, καταλήξαμε στο συμπέρασμα ότι ο αριθμός $0.999\ldots$ θα γράφεται στη μορφή (πάντα, όχι με σύμβολο άθροισης αλλά με τελίτσες να υπονοούν την ύπαρξη άπειρων όρων):
$\displaystyle 0,999\ldots=\frac{9}{10}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{10^k}.$
Τώρα, το πεπερασμένο άθροισμα, για μεγάλα

, θα προσεγγίζει το μικρό, οπότε, παίρνοντας το

μεγάλο έχουμε και πάλι το ζητούμενο.

Παράλληλα, είχαμε και ένα σχήμα για να τα βλέπουμε γραφικά (ένα τετράγωνο χωρισμένο σε 10 μέρη από τα οποία χρωματίσαμε τα 9 και αυτό που απέμεινε το χωρίσαμε σε 10 μέρη και χρωματίσαμε τα 9 κ.ο.κ.). Ενώ, με τα τελευταία, κάποιοι μαθητές πείστηκαν, σχετικά, έμεινα μία διάχυτη εντύπωση σε ορισμένους (τους, ομολογουμένως, πιο αδύναμους) ότι το $0.999\ldots$ δεν είναι ποτέ ίσο με 1 αλλά πλησιάζει στο ένα (με άλλα λόγια, ταυτίστηκε με την ακολουθία και όχι με το όριο).

Τι άλλο θα μπορούσε κανείς να πει ή πώς αλλιώς θα μπορούσε να παρουσιαστεί εξαρχής το ζήτημα για να αποφευχθεί αυτή η παρανόηση;

#2

Σε κάποιον ΑΣΕΠ παλαιότερα είχε πέσει θέμα ακριβώς η συζήτηση/αιτιολόγηση/διδασκαλία του 0,99999... = 1

.
Επίσης υπάρχει σε όλα τα βιβλία Ανάλυσης που συζητούν το δεκαδικό ανάπτυγμα των πραγματικών.

Νομίζω ότι το θέμα έχει εξαντληθεί. Όλα τα παραπάνω και πολλά ακόμα (π.χ. αρχής γενομένης από το $\dfrac {1}{3}= 0,33333...$ και πολλαπλασιασμό επί

) έχουν χιλιοειπωθεί και είναι γραμμένα σε πολλά σημεία.

Ας μην ανακαλύπτουμε τον τροχό.

Μάρκος Βασίλης · #3

Αυτό με το $\frac{1}{3}$ ήταν αρκετά απλό και έξυπνο (αν και δεν ξέρω τι διαίσθηση παρέχει, είναι ωστόσο πιο πειστικό από την πρώτη απόδειξη). Επομένως, θα πρέπει πρώτα να ξανακοιτάξω τη σχετική βιβλιογραφία! Ευχαριστώ!

#4

Καλημέρα σε όλους.

Ψάχνοντας λίγο, εντόπισα αυτή τη συζήτηση, που οδηγεί σε παλαιότερη παραπομπή και αυτή, με τη σειρά της σε άλλες παραπομπές.

#5

Με ανάποδη χρονολογική σειρά δες στο εδώ φόρουμ (και μύρια εκτός)

2012
To πληρέστερο. Βλέπε ειδικά το ποστ του Δημήτρη εδώ

2011
βλέπε εδώ

2010
βλέπε εδώ και εδώ.

Μάρκος Βασίλης · #6

Ευχαριστώ πολύ για τις παραπομπές! Πράγματι, η ανάρτηση του demetres είναι αρκετά πλήρης. Ξεσκονίζοντας κάτι σημειώσεις μη συμβατικής ανάλυσης (είδα, μάλιστα, και σε μία από τις παραπάνω παραπομπές ένα link σε ένα paper), σκέφτηκα ότι, ίσως, η γενεσιουργός αιτία της δυσκολίας που μπορεί να έχει ένας μαθητής, πέρα από την έλλειψη της έννοιας του ορίου (που είναι κομβική, επίσης), είναι ότι, νομίζω, η σκέψη ενός μαθητή είναι πιο κοντά στη δομή ενός μοντέλου μη συμβατικής ανάλυσης (ωραίες εισαγωγικές σημειώσεις εδώ).

Εξηγούμαι. Στη μη συμβατική ανάλυση εμφανίζονται άπειροι ακέραιοι (όχι άπειροι στο πλήθος, αλλά άπειροι), δηλαδή υπάρχουν στοιχεία $N_1,N_2,\ldots$ με την ιδιότητα να είναι όλα τους μεγαλύτερα από κάθε φυσικό αριθμό. Επομένως, πιστεύω, ότι την έννοια του $0.999\ldots$ την αντιμετωπίζουν όχι ως:
$\displaystyle0.999\ldots=\sum_{k=1}^\infty\frac{9}{10^k},$
αλλά ως:
$\displaystyle0.999\ldots=\sum_{k=1}^N\frac{9}{10^k},$
όπου, όμως το

είναι ένας άπειρος ακέραιος. Ως εκ τούτου, το αποτέλεσμα είναι, σε όρους μη συμβατικής ανάλυσης, διαφορετικό του 1 (πράγματι, η διαφορά τους είναι ένα απειροστό, δηλαδή θετική και μικρότερη από κάθε θετικό πραγματικό αριθμό).

Επομένως, αν τα παραπάνω έχουν πράγματι νόημα, πέρα από την έννοια του ορίου, υπάρχουν, όπως το βλέπω, δύο τουλάχιστον εξίσου κεντρικά ζητήματα στην έκφραση $0,999\ldots$ :

Η έννοια του απείρου και, ειδικότερα το γεγονός ότι δεν υπάρχει «τελευταίος» όρος σε μία ακολουθία και ότι ένα άπειρο σύνολο περιέχει ισοπληθικά με αυτό αλλά γνήσια υποσύνολά του.

Το γεγονός ότι η θεωρία των πραγματικών αριθμών και, ειδικότερα, το αξίωμα της πληρότητας, δεν περιγράφονται σε πρωτοβάθμιες γλώσσες (χρειάζονται ποσόδειξη σε σύνολα).

Υ.Γ.: Με αφορμή τη μη συμβατική ανάλυση, μήπως η εισαγωγή της έννοιας του απειροστού έχει κάποιο νόημα στη διδασκαλία; Δεν εννοώ να τελειώνουμε την ύλη του λυκείου αφήνοντας την εντύπωση ότι υπάρχουν απειροστά, αλλά να μπαίνουν στην ύλη και, στην πορεία, να εξηγείται γιατί στη συμβατική ανάλυση δεν έχουν θέση. Αυτό είναι, βέβαια, καθαρός προβληματισμός, αλλά η βάση της σκέψης μου ήταν μια διδασκαλία με βάση την ιστορική εξέλιξη της μαθηματικής σκέψης (σε έναν βαθμό, κι ο Leibniz και ο Euler σε περιβάλλον μη συμβατικής ανάλυσης ζούσαν) και το κατά πόσο θα ήταν εφικτό σε ένα επίπεδο λυκείου. Οπότε, αν έχετε όρεξη, μπορούμε να το συζητήσουμε.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #7

Μάρκος Βασίλης έγραψε: ↑
Σάβ Σεπ 07, 2019 12:18 pm
Ευχαριστώ πολύ για τις παραπομπές! Πράγματι, η ανάρτηση του demetres είναι αρκετά πλήρης. Ξεσκονίζοντας κάτι σημειώσεις μη συμβατικής ανάλυσης (είδα, μάλιστα, και σε μία από τις παραπάνω παραπομπές ένα link σε ένα paper), σκέφτηκα ότι, ίσως, η γενεσιουργός αιτία της δυσκολίας που μπορεί να έχει ένας μαθητής, πέρα από την έλλειψη της έννοιας του ορίου (που είναι κομβική, επίσης), είναι ότι, νομίζω, η σκέψη ενός μαθητή είναι πιο κοντά στη δομή ενός μοντέλου μη συμβατικής ανάλυσης (ωραίες εισαγωγικές σημειώσεις εδώ).

Εξηγούμαι. Στη μη συμβατική ανάλυση εμφανίζονται άπειροι ακέραιοι (όχι άπειροι στο πλήθος, αλλά άπειροι), δηλαδή υπάρχουν στοιχεία $N_1,N_2,\ldots$ με την ιδιότητα να είναι όλα τους μεγαλύτερα από κάθε φυσικό αριθμό. Επομένως, πιστεύω, ότι την έννοια του $0.999\ldots$ την αντιμετωπίζουν όχι ως:
$\displaystyle0.999\ldots=\sum_{k=1}^\infty\frac{9}{10^k},$
αλλά ως:
$\displaystyle0.999\ldots=\sum_{k=1}^N\frac{9}{10^k},$
όπου, όμως το είναι ένας άπειρος ακέραιος. Ως εκ τούτου, το αποτέλεσμα είναι, σε όρους μη συμβατικής ανάλυσης, διαφορετικό του 1 (πράγματι, η διαφορά τους είναι ένα απειροστό, δηλαδή θετική και μικρότερη από κάθε θετικό πραγματικό αριθμό).

Επομένως, αν τα παραπάνω έχουν πράγματι νόημα, πέρα από την έννοια του ορίου, υπάρχουν, όπως το βλέπω, δύο τουλάχιστον εξίσου κεντρικά ζητήματα στην έκφραση $0,999\ldots$ :

Η έννοια του απείρου και, ειδικότερα το γεγονός ότι δεν υπάρχει «τελευταίος» όρος σε μία ακολουθία και ότι ένα άπειρο σύνολο περιέχει ισοπληθικά με αυτό αλλά γνήσια υποσύνολά του.

Το γεγονός ότι η θεωρία των πραγματικών αριθμών και, ειδικότερα, το αξίωμα της πληρότητας, δεν περιγράφονται σε πρωτοβάθμιες γλώσσες (χρειάζονται ποσόδειξη σε σύνολα).
Υ.Γ.: Με αφορμή τη μη συμβατική ανάλυση, μήπως η εισαγωγή της έννοιας του απειροστού έχει κάποιο νόημα στη διδασκαλία; Δεν εννοώ να τελειώνουμε την ύλη του λυκείου αφήνοντας την εντύπωση ότι υπάρχουν απειροστά, αλλά να μπαίνουν στην ύλη και, στην πορεία, να εξηγείται γιατί στη συμβατική ανάλυση δεν έχουν θέση. Αυτό είναι, βέβαια, καθαρός προβληματισμός, αλλά η βάση της σκέψης μου ήταν μια διδασκαλία με βάση την ιστορική εξέλιξη της μαθηματικής σκέψης (σε έναν βαθμό, κι ο Leibniz και ο Euler σε περιβάλλον μη συμβατικής ανάλυσης ζούσαν) και το κατά πόσο θα ήταν εφικτό σε ένα επίπεδο λυκείου. Οπότε, αν έχετε όρεξη, μπορούμε να το συζητήσουμε.

Δεν καταλαβαίνω.
Μας βάζεις στο θέμα την Non-standard-analysis.
Προσωπικά δεν την γνωρίζω και νομίζω οι περισσότεροι.
Την γνωρίζεις εσύ ;
Και σε κάθε περίπτωση θες να πεις ότι στην Non-standard-analysis ΔΕΝ ΙΣΧΥΕΙ ότι
$\displaystyle0.999\ldots=1$
Να μάθουμε και κάτι.

Μάρκος Βασίλης · #8

Λοιπόν, ας βάλω τα πράγματα σε μια σειρά γιατί μπορεί να προκλήθηκε μπέρδεμα. Έστω T_r

η θεωρία των πραγματικών αριθμών, δηλαδή όλες οι προτάσεις που μπορούν να αποδειχθούν από τα 13 πρώτα αξιώματα των πραγματικών αριθμών στην πρωτοβάθμια λογική. Το αξίωμα της πληρότητας είναι δευτεροβάθμιο (χρειάζεται ποσόδειξη σε σύνολα), ως εκ τούτου, δεν έχουμε το $\mathbb{R}$ ως (το) πλήρες ολικά διατεταγμένο σώμα αλλά ως ένα ολικά διατεταγμένο σώμα. Χρησιμοποιώντας το θεώρημα της συμπάγειας μπορούμε να αποδείξουμε ότι υπάρχει μία δομή στην οποία ικανοποιείται όλη η T_r

και, επιπρόσθετα, ισχύει και το εξής:

Υπάρχει ένα στοιχείο $\varepsilon>0$ τέτοιο ώστε για κάθε θετικό πραγματικό αριθμό να ισχύει $\varepsilon<r$ .

Με άλλα λόγια, υπάρχει ένα απειροστό στοιχείο. Από εδώ, δεδομένου ότι ισχύει και όλη η υπόλοιπη θεωρία T_r

μπορεί κανείς να αποδείξει την απειρία αυτών των απειροστών, αλλά και το εξής:

Υπάρχει στοιχείο τέτοιο ώστε για κάθε φυσικό αριθμό να ισχύει .

Επίσης, αποδεικνύεται η απειρία αυτών των στοιχείων. Επίσης, ισχύει ότι αν ο

είναι απειροστός, τότε ο 1/x

είναι άπειρος.

Αφού ισχύει όλη η θεωρία T_r

, προφανώς και ισχύει ότι:
$\displaystyle 0.999\ldots=\sum_{k=1}^\infty\frac{9}{10^k}=1.$
Ωστόσο, αυτό που ανέφερα είναι ότι, έτσι όπως το βλέπω, νομίζω ότι οι μαθητές δε βλέπουν αυτήν την έκφραση σαν ένα άπειρο άθροισμα (όριο) αλλά σαν ένα άθροισμα της μορφής:
$\displaystyle\sum_{k=1}^N\frac{9}{10^k},$
όπου ο

δεν είναι, πρακτικά, φυσικός, αλλά άπειρος αριθμός (δηλ., μεγαλύτερος από κάθε φυσικό), οπότε και παίρνουμε ότι (από την παραδοσιακή γεωμετρική πρόοδο):
$\displaystyle\sum_{k=1}^N\frac{9}{10^k}=1-10^{-N}<1,$
σε όρους μη συμβατικής ανάλυσης.

Να το κάνουμε και λίγο χειρότερο, ο LIghtstone (A. H. Lightstone, Infinitesimals, The American Mathematical Monthly, Vol. 79, No. 3 (Mar., 1972), pp. 242-251), καθορίζει και μία «δεκαδική» αναπαράσταση για τους «υπερπραγματικούς» αριθμούς, η οποία έχει η μορφή:
$a=a.\psi_1\psi_2\ldots;\ldots\psi_{h-1}\psi_h\psi_{h+1}\ldots,$
όπου αριστερά από το ερωτηματικό έχουμε μία «κλασσική» δεκαδική αναπαράσταση (με τα συνήθη ψηφία) και δεξιά έχουμε και πάλι ψηφία, αλλά με «άπειρο» δείκτη (ο

είναι κάποιος άπειρος ακέραιος). Σε αυτόν τον συμβολισμό, το άθροισμα:
$\displaystyle\sum_{k=1}^N\frac{9}{10^k}=1-10^{-N}<1,$
αναπαρίσταται ως:
$0.999\ldots;\ldots9.$
(Προφανώς, το τελευταίο 9 στο «απειροστό» μέρος είναι το

οστό). Όμως, όπως είδαμε:
$0.999\ldots;\ldots9<1.$

Κι όλα αυτά γιατί δεν είναι εφικτό να εκφραστεί όλη η θεωρία των πραγματικών αριθμών σε πρωτοβάθμια γλώσσα.

0,999...=1

0,999...=1

Re: 0,999...=1

Re: 0,999...=1

Re: 0,999...=1

Re: 0,999...=1

Re: 0,999...=1

Re: 0,999...=1

Re: 0,999...=1

Μέλη σε σύνδεση