Εύρεση συναρτήσεων

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #1

Να βρεθούν όλες οι παραγωγίσημες συναρτήσεις

$f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$

που ικανοποιούν την σχέση

2f(x)=x(1+f'(x))

#2

Είναι $\displaystyle{f(0)=0.}$

Στο $\displaystyle{(0,+\infty)}$ είναι $\displaystyle{f'(x)=\frac{2f(x)-x}{x}}$ , άρα η $\displaystyle{f}$ είναι δις και τρις παραραγωγίσιμη,οπότε από την αρχική έχουμε

$\displaystyle{2f'(x)=1+f'(x)+xf''(x)\implies f'(x)=1+xf''(x)\implies f''(x)=f''(x)+xf'''(x)\implies f'''(x)=0~~\forall x>0.}$

Επομένως είναι $\displaystyle{f(x)=ax^2+bx~~\forall x>0.}$

Ομοίως εργαζόμενοι στο $\displaystyle{(-\infty ,0)}$ βρίσκουμε $\displaystyle{f(x)=cx^2+dx~~\forall x<0.}$

Με αντικατάσταση στην αρχική βρίσκουμε $\displaystyle{b=d=1.}$ Άρα

$\displaystyle{f(x)=\begin{cases} ax^2+x,~~if~~x\geq 0, \\ cx^2+x,~~if~~ x<0 \end{cases}}$

Εύρεση συναρτήσεων

Εύρεση συναρτήσεων

Re: Εύρεση συναρτήσεων

Μέλη σε σύνδεση