Γεωμετρικός τόπος

#1

Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle f(x)={{x}^{3}}-x,\,\,\,\,x\in \mathbb{R}$
Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων $\displaystyle A(a,b)$ του επιπέδου από τα οποία άγονται τρεις
εφαπτόμενες προς τη γραφική παράσταση της συνάρτησης .

KARKAR · #2

Η εφαπτομένη της καμπύλης με εξίσωση : f(x)=x^3-x

, στο σημείο της : A(a,f(a))

,

έχει εξίσωση : y=(3a^2-1)x-2a^3

. Αναζητούμε τα σημεία S(k,m)

του επιπέδου ,

για τα οποία η εξίσωση : $m=(3a^2-1)k-2a^3\Leftrightarrow\boxed{2a^3-3ka^2+k+m=0}$

- με άγνωστο το

- έχει τρεις διαφορετικές πραγματικές ρίζες .

Θεωρούμε γνωστό ότι αυτό συμβαίνει , αν η τριτοβάθμια εξίσωση : ax^3+bx^2+cx+d=0

,

έχει : D=18abcd-4b^3d+b^2c^2-4ac^3-27a^2d^2>0

.

Εν προκειμένω είναι : a=2 ,b=-3k ,c=0 , d=k+m

, οπότε :

$D=108\left[k^3(k+m))-(k+m)^2\right]$ .

Θέλουμε λοιπόν : (k+m)(k^3-k-m)>0

, ή με τον συνήθη συμβολισμό ,

τα σημεία

του επιπέδου για τα οποία : (x+y)(x^3-x-y)>0

.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Φεβ 09, 2018 8:45 pm
Η εφαπτομένη της καμπύλης με εξίσωση : , στο σημείο της : ,

έχει εξίσωση : . Αναζητούμε τα σημεία του επιπέδου ,

για τα οποία η εξίσωση : $m=(3a^2-1)k-2a^3\Leftrightarrow\boxed{2a^3-3ka^2+k+m=0}$

- με άγνωστο το - έχει τρεις διαφορετικές πραγματικές ρίζες .

συνεχίζω διαφορετικά .

Αντι

βάζω

.

Θέλουμε η q(x)=2x^3-3kx^2+k+m

να έχει τρεις πραγματικές ρίζες.

Εχουμε ότι $q'(x)=6x^{2}-6kx=6x(x-k)$

Τα τοπικά ακρότατα είναι στα 0,k

Εύκολα μπορούμε να δούμε ότι η q(x)=0

έχει τρεις πραγματικές αν και μόνο αν

q(0)q(k)<0

Απο την τελευταία προκύπτει η σχέση που έγραψε ο KARKAR

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Φεβ 09, 2018 8:45 pm
Η εφαπτομένη της καμπύλης με εξίσωση : , στο σημείο της : ,

έχει εξίσωση : . Αναζητούμε τα σημεία του επιπέδου ,

για τα οποία η εξίσωση : $m=(3a^2-1)k-2a^3\Leftrightarrow\boxed{2a^3-3ka^2+k+m=0}$

- με άγνωστο το - έχει τρεις διαφορετικές πραγματικές ρίζες .

Θεωρούμε γνωστό ότι αυτό συμβαίνει , αν η τριτοβάθμια εξίσωση : ,

έχει : .

Εν προκειμένω είναι : , οπότε :

$D=108\left[k^3(k+m))-(k+m)^2\right]$ .

Θέλουμε λοιπόν : , ή με τον συνήθη συμβολισμό ,

τα σημεία του επιπέδου για τα οποία : .

#5

Θανάση , Σταύρο , ευχαριστώ για τις απαντήσεις
Η λύση μου συμπίπτει με αυτήν του Σταύρου.
Την έβαλα εδώ διότι οι μαθητές δεν διδάσκονται πλέον ανισώσεις με δύο μεταβλητές
Κάποτε διδάσκονταν γραμμικό προγραμματισμό στη Γ΄Γυμνασίου
Βάζω κι ένα σχήμα . Η λύση αποτελείται από τις περιοχές Ι και ΙΙ

Γεωμετρικός τόπος

Γεωμετρικός τόπος

Re: Γεωμετρικός τόπος

Re: Γεωμετρικός τόπος

Re: Γεωμετρικός τόπος

Re: Γεωμετρικός τόπος

Μέλη σε σύνδεση