Απορία για τα σημεία καμπής

manousos · #1

Καλησπέρα στο

,

Θα ήθελα να ρωτήσω σχετικά με τα σημεία καμπής από την ύλη που διδάσκεται στην Γ Λυκείου. Σύμφωνα με το σχολικό αν για μια συνάρτηση $\displaystyle{f(x)}$ συνεχή στο $\displaystyle{D_{f}}$ , παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα $\displaystyle{\Delta}$ του πεδίου ορισμού της με εξαίρεση ίσως το $\displaystyle{x_{0}\in \Delta}$ με την $\displaystyle{f'(x)}$ να αλλάζει μονοτονία εκατέρωθεν του $\displaystyle{x_{0}}$ και να ορίζεται εφαπτομένη στο $\displaystyle{A(x_{0},f(x_{0}))}$ , τότε το $\displaystyle{x_{0}}$ αποτελεί σημείο καμπής της $\displaystyle{f}$ .

Η ερώτηση μου είναι γιατί η προϋπόθεση σε μπλε είναι απαραίτητη ; Για παράδειγμα γιατί να μην είναι σημείο καμπής το $\displaystyle{A(0,1)}$ στην $\displaystyle{f(x)=\left\{\begin{matrix} e^x ,\; x\geq 0 & \\ \ -x^2 + 1\ ,\; x< 0 & \end{matrix}\right.}$
Ευχαριστώ.

#2

Εύλογη η απορία σου
Είναι θέμα πσραδοχών , ορισμού και αντίληψης που έχουμε για τα πράγματα .
Δεν έχουμε θέμα με την εφαπτομένη στο σημείο που η συνάρτηση έχει ακρότατο ( ούτε καν με τη συνέχεια της συνάρτησης )
Δεν έχουμε θέμα με την κυρτότητα αφού ο ορισμός της στηρίζεται στη μονοτονία της πρώτης παραγώγου
(Η συνάρτηση του σχήματος είναι κυρτή )
Έχουμε θέμα με το σημείο καμπής . Θέλουμε η μετάβαση από την κυρτή στην κοίλη να γίνεται ομαλά .
Αυτό εξασφαλίζεται με την απαίτηση να ορίζεται εφαπτόμενη εκεί .
Αν , πάντως , δεν βάλουμε την απαίτηση να ορίζεται εφαπτομένη μπαίνουμε σε μεγαλύτερες περιπέτειες:
• να ορίζεται σε διάστημα ή σε ένωση διαστημάτων
• να αλλάζει ταυτόχρονα η μονοτονία ή όχι ;
• να είναι συνεχής ή να μην είναι ;

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

https://en.wikipedia.org/wiki/Inflection_point
Η γεωμετρική ερμηνεία του σημείου καμπής είναι
Η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης στο σημείο καμπής διαπερνά τοπικά την
γραφική παράσταση.
Το σύνηθες είναι να θεωρούμε ότι στο σημείο καμπής υπάρχει εφαπτομένη.
Αυτό γιατί τότε είναι η μοναδική ευθεία που διαπερνά την γραφική παράσταση.

Ο Σ.Νεγρεπόντης στο βιβλίο του Απειροστικός Λογισμός τόμος ΙΙ
ορισμός 19.12 δίνει ορισμό για το σημείο καμπής σαν αυτό που περιέγραψες.
Δηλαδή.

Αν $f:(a,b)\rightarrow \mathbb{R}$ συνάρτηση

το $c\in (a,b)$ είναι σημείο καμπής αν υπάρχει $\delta > 0$

ώστε η

είναι γνήσια κυρτή στο $(c-\delta ,c]$

και γνήσια κοίλη στο $[c,c+\delta )$ η ανάποδα

Απορία για τα σημεία καμπής

Απορία για τα σημεία καμπής

Re: Απορία για τα σημεία καμπής

Re: Απορία για τα σημεία καμπής

Μέλη σε σύνδεση