Max κυρτής συνάρτησης

Mulder · #1

Αν $f:[0,a]\to \mathbb{R}$ κυρτή , πώς μπορώ να δείξω ότι $\max_{x\in [0,a]} \left \{ f(x) + f(a-x) \right \} = 2f(a/2)$ ;

#2

Mulder έγραψε:Αν $f:[0,a]\to \mathbb{R}$ κυρτή , πώς μπορώ να δείξω ότι $\max_{x\in [0,a]} \left \{ f(x) + f(a-x) \right \} = 2f(a/2)$ ;

Μήπως αντί για το μέγιστο, εννοείς το ελάχιστο;

#3

Με το σχολικό ορισμό της κυρτότητας (συν ότι η $\displaystyle{f}$ πρέπει να είναι δυο φορές παραγωγίσιμη )

θεωρείς την $\displaystyle{g(x) = f(x) + f(a - x)}$ , οπότε $\displaystyle{g'(x) = f'(x) - f'(a - x)}$ με $\displaystyle{{f'}}$ γνησίως αύξουσα ,κλπ

Mulder · #4

matha έγραψε:Μήπως αντί για το μέγιστο, εννοείς το ελάχιστο;

Όχι, βασικά η

είναι αύξουσα και κυρτή και f(0)=0

και ψάχνω το $\max_{[0,a]} \left \{ f(x) + f(a-x) \right \}$ .

exdx έγραψε:Με το σχολικό ορισμό της κυρτότητας (συν ότι η $\displaystyle{f}$ πρέπει να είναι δυο φορές παραγωγίσιμη )

θεωρείς την $\displaystyle{g(x) = f(x) + f(a - x)}$ , οπότε $\displaystyle{g'(x) = f'(x) - f'(a - x)}$ με $\displaystyle{{f'}}$ γνησίως αύξουσα ,κλπ

Προσπαθώ να μη χρησιμοποιήσω το σχολικό ορισμό της κυρτότητας .

#5

Mulder έγραψε:Αν $f:[0,a]\to \mathbb{R}$ κυρτή , πώς μπορώ να δείξω ότι $\max_{x\in [0,a]} \left \{ f(x) + f(a-x) \right \} = 2f(a/2)$ ;

Όπως σωστά επισήμανε ο Θάνος, μιλάμε για το ελάχιστο. Π.χ. της κυρτής f(x)= x^2

στο

το

είναι ελάχιστο και όχι μέγιστο. Πράγματι, είναι f(2)=4 > 2

ενώ με την δοθείσα εκφώνηση θα έπρεπε 4=f(2)<2

.

Για την απόδειξη: Λόγω συμμετρίας της f(x) + f(a-x)

, μπορούμε να περιοριστούμε στα $x\in [0, a/2]$ . Εύκολα τώρα βλέπουμε από την κυρτότητα ότι $f(a/2)-f(x) \le f(a-x) -f(a/2)$ διότι τα δύο είναι της μορφής $f'(\xi_1)(a/2-x), \,f'(\xi_2)(a/2-x)$ με $\xi_1, \xi _2$ στα [0,a/2], [a/2,a],

αντίστοιχα, οπότε $\xi _1 \le \xi_2$ . Tώρα χρησιμοποιούμε ότι η

αύξουσα. Έχουμε ισότητα αν x=a/2

, και λοιπά.

Μ.

Mulder · #6

To ελάχιστο μπορεί να βγει και χωρίς την υπόθεση της παραγωγισιμότητας: Από την ανισότητα Jensen $f(x) + f(a-x) = 2(1/2f(x) + 1/2 f(a-x)) \geq 2f(x/2 + \frac{a-x}{2}) = 2f(a/2) .$

Αλλά εγώ ψάχνω το μέγιστο. Αυτό πρέπει να είναι το f(a)+f(0)

, αλλά δεν έχω απόδειξη χωρίς τη παραγωγισιμότητα..

#7

Mulder έγραψε: Αλλά εγώ ψάχνω το μέγιστο. Αυτό πρέπει να είναι το , αλλά δεν έχω απόδειξη χωρίς τη παραγωγισιμότητα..

Είναι απλό: Αφού $x= \left (1-\frac {x}{a}\right )\cdot 0 + \frac {x}{a}\cdot a$ (κυρτός συνδυασμός) έχουμε

$f(x) \le \left (1-\frac {x}{a}\right )\cdot f(0) + \frac {x}{a}\cdot f(a)$ και όμοια

$f(a-x) \le \frac {x}{a}\cdot f(0) + \left (1 -\frac {x}{a}\right ) \cdot f(a)$

Τώρα προσθέτουμε κατά μέλη. Ισότητα αν x=0

ή

.

Ελπίζω τώρα να σε ικανοποιεί η απάντηση γιατί η άσκηση είναι στον φάκελο της Δευτεροβάθμιας, οπότε η λύση που έδωσα παραπάνω χρησιμοποιεί γνώσεις Λυκείου (και άρα δεν θεωρούμε γνωστή την Jensen).

Μ.

Mulder · #8

Ωραία, ευχαριστώ Μιχάλη, αυτό έψαχνα. Μάλλον την έβαλα σε λάθος φάκελο..

Max κυρτής συνάρτησης

Max κυρτής συνάρτησης

Re: Max κυρτής συνάρτησης

Re: Max κυρτής συνάρτησης

Re: Max κυρτής συνάρτησης

Re: Max κυρτής συνάρτησης

Re: Max κυρτής συνάρτησης

Re: Max κυρτής συνάρτησης

Re: Max κυρτής συνάρτησης

Μέλη σε σύνδεση