Κυρτότητα

irakleios · #1

Έστω $f :\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ η οποία είναι γνήσια κυρτή και δεν έχει τοπικό ελάχιστο . Να δειχθεί ότι αν f(2) > f(1)

τότε η

είναι γνησίως αύξουσα συνάρτηση .

#2

Μπορούμε να δείξουμε ότι η

είναι γν. μονότονη (και άρα γν. αύξουσα).
Θα χρειαστούμε το ότι μια κυρτή συνάρτηση παρουσιάζει μέγιστο στα άκρα του πεδίου ορισμού της.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα.

Γιατί ισχύει το εξης:
Μια γνήσια κυρτή συνάρτηση ορισμένη σε ανοικτό διάστημα έχει
μια από τις παρακάτω μορφές:
1)Είναι γνησίως αύξουσα
2)Είναι γνησίως φθίνουσα
3)Εχει ένα ολικό ελάχιστο , είναι γνησίως αύξουσα
δεξιά από το σημείο που παίρνει το ελάχιστο και
γνησίως φθίνουσα αριστερά.

Αν θεωρήσουμε σαν ορισμό της κυρτότητας τον σχολικό τότε
η απόδειξη είναι απλούστατη.
ΔΙΟΡΘΩΣΗ 23-12-15 7:50
Η απόδειξη είναι απλή αν υποθέσουμε ότι η παραγωγός είναι συνεχής

#4

irakleios έγραψε:Έστω $f :\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ η οποία είναι γνήσια κυρτή και δεν έχει τοπικό ελάχιστο . Να δειχθεί ότι αν τότε η είναι γνησίως αύξουσα συνάρτηση .

...να δώσω και μία απάντηση σχολική για τους μαθητές μας....

Αφού η $f :\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ είναι γνήσια κυρτή, θα είναι η {f}'

γνήσια αύξουσα στο $\mathbb{R}$ .

Αν υπάρχει ${{x}_{0}}\in R$ με ${f}'({{x}_{0}})=0$ τότε για $x<{{x}_{0}}\Rightarrow {f}'(x)<{f}'({{x}_{0}})=0$ άρα η

γνήσια φθίνουσα στο

$(-\infty ,\,\,{{x}_{0}}]$ και για $x>{{x}_{0}}\Rightarrow {f}'(x)>{f}'({{x}_{0}})=0$ άρα η

γνήσια αύξουσα στο $[{{x}_{0}},\,\,+\infty )$

οπότε στο ${{x}_{0}}\in R$ η

παρουσιάζει ελάχιστο που είναι άτοπο λόγω υπόθεσης, άρα ισχύει ${f}'(x)\ne 0,\,\,\,x\in R$ .

Σύμφωνα τώρα με το θεώρημα μέσης τιμής στο διάστημα $[1,\,\,2]$ υπάρχει ${{x}_{1}}\in (1,\,\,2)$ που ${f}'({{x}_{1}})=\frac{f(2)-f(1)}{2-1}>0$ .

Αν τώρα υπάρχει ${{x}_{2}}\in (-\infty ,\,\,{{x}_{1}})\cup ({{x}_{1}},\,\,+\infty )$ που ${f}'({{x}_{2}})<0$ τότε λόγω ${f}'({{x}_{2}})<0<{f}'({{x}_{1}})$

θα είναι αναγκαία, λόγω της μονοτονίας της {f}'

το ${{x}_{2}}<{{x}_{1}}$ .

Τώρα από ${f}'({{x}_{2}})=\underset{x\to x_{2}^{+}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f({{x}_{2}})}{x-{{x}_{2}}}<0$ ισχύει για $x>{{x}_{2}}$ κοντά στο ${{x}_{2}}$

ότι $\frac{f(x)-f({{x}_{2}})}{x-{{x}_{2}}}<0\Leftrightarrow f(x)<f({{x}_{2}})$ άρα το $f({{x}_{2}})$

είναι τοπικό μέγιστο της

και από Fermat θα είναι ${f}'({{x}_{2}})=0$ που είναι άτοπο λόγω προηγουμένου.

Άρα τελικά θα ισχύει ότι ${f}'(x)>0,\,\,\,\,x\in R$ που σημαίνει ότι η

είναι γνήσια αύξουσα στο

.

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

Κυρτότητα

Κυρτότητα

Re: Κυρτότητα

Re: Κυρτότητα

Re: Κυρτότητα

Μέλη σε σύνδεση