Είναι σωστό;

Μάκης Χατζόπουλος · #1

Το είδα σε εξωσχολικό βιβλίο της Γ΄ Λυκείου Κατεύθυνσης... Γράφει

$\displaystyle{{f^2}\left( x \right) = \frac{1}{{\sigma \upsilon {\nu ^2}x}} \Leftrightarrow \left| {f\left( x \right)} \right| = \frac{1}{{\left| {\sigma \upsilon \nu x} \right|}} \Leftrightarrow f\left( x \right) = \pm \frac{1}{{\sigma \upsilon \nu x}}}$

Είναι σωστό ; Αναφέρομαι στην τελευταία σχέση (με ενοχλεί το συν / πλην)...

Φυσικά δεν αναφέρει πεδίο ορισμού, αλλά κινείται αλγεβρικά... μετά παίρνει μία συνάρτηση από αυτές (αφού το ζητάει η άσκηση). Είναι στο κεφάλαιο σύνθεση συναρτήσεων (ανάλογη της άσκησης Β6iii παράγραφος 1.2 / σχ. βιβλίου)

#2

Με αυτά τα δεδομένα προφανώς και είναι λάθος.

Για παράδειγμα γιατί να μην ισχύει για $\displaystyle{\sigma \upsilon \nu x \neq 0}$ , ότι:

$\displaystyle{f(x)=\begin{cases} \frac{1}{\sigma \upsilon \nu x} & \text{ if } x>0 \\ -\frac{1}{\sigma \upsilon \nu x} & \text{ if } x \leq 0 \end{cases}}$ ;;;;

#3

Μάκης Χατζόπουλος έγραψε:Το είδα σε εξωσχολικό βιβλίο της Γ΄ Λυκείου Κατεύθυνσης... Γράφει

$\displaystyle{{f^2}\left( x \right) = \frac{1}{{\sigma \upsilon {\nu ^2}x}} \Leftrightarrow \left| {f\left( x \right)} \right| = \frac{1}{{\left| {\sigma \upsilon \nu x} \right|}} \Leftrightarrow f\left( x \right) = \pm \frac{1}{{\sigma \upsilon \nu x}}}$

Είναι σωστό ; Αναφέρομαι στην τελευταία σχέση (με ενοχλεί το συν / πλην)...

Φυσικά δεν αναφέρει πεδίο ορισμού, αλλά κινείται αλγεβρικά... μετά παίρνει μία συνάρτηση από αυτές (αφού το ζητάει η άσκηση). Είναι στο κεφάλαιο σύνθεση συναρτήσεων (ανάλογη της άσκησης Β6iii παράγραφος 1.2 / σχ. βιβλίου)

Μάκη,

από αυτά που γράφεις θα έλεγα, επιεικώς, ότι δεν είναι σωστό.

Το θέμα έχει συζητηθεί πολλές φορές στο παρελθόν, κάποιες φορές αρκετά έντονα θα έλεγα,

και με λυπεί το γεγονός ότι είναι σε βιβλίο.

Φιλικά,

Αχιλλέας

Α.Κυριακόπουλος · #4

Μάκης Χατζόπουλος έγραψε:Το είδα σε εξωσχολικό βιβλίο της Γ΄ Λυκείου Κατεύθυνσης... Γράφει

$\displaystyle{{f^2}\left( x \right) = \frac{1}{{\sigma \upsilon {\nu ^2}x}} \Leftrightarrow \left| {f\left( x \right)} \right| = \frac{1}{{\left| {\sigma \upsilon \nu x} \right|}} \Leftrightarrow f\left( x \right) = \pm \frac{1}{{\sigma \upsilon \nu x}}}$

Είναι σωστό ; Αναφέρομαι στην τελευταία σχέση (με ενοχλεί το συν / πλην)...

Φυσικά δεν αναφέρει πεδίο ορισμού, αλλά κινείται αλγεβρικά... μετά παίρνει μία συνάρτηση από αυτές (αφού το ζητάει η άσκηση). Είναι στο κεφάλαιο σύνθεση συναρτήσεων (ανάλογη της άσκησης Β6iii παράγραφος 1.2 / σχ. βιβλίου)

Μάκη, βλέπε εδώ, παράγραφοι 4.3 και 4.4. Αυτός που τα έγραψε αντιμετωπίζει τις συναρτήσεις σαν να ήταν αριθμοί, που δεν είναι σωστό.

Ιστοσελίδα · #5

Προφανώς και υπάρχουν άπειρες συναρτήσεις με την αναγραφόμενη ιδιότητα. Διευκρινίζει αν είναι συνεχής η

ή όχι;

#6

Προσωπικά θα χρειαζόμουν να δω και τα συμφραζόμενα. Αν λ.χ. όλων αυτών που γράφονται προηγείται μια φράση σαν την ακόλουθη "για δοθέν

έχουμε" όσα ακολουθούν δεν θα με ενοχλούσαν. Αν δεν γράφει τίποτε και περνάει αμέσως στην συνάρτηση συμφωνώ απολύτως με όσα γράφουν οι συνάδελφοι πιο πάνω.
Μαυρογιάννης

#7

Μάκη γράψε όλη την εκφώνηση και την λύση .
Πρέπει να το δούμε λίγο πιο σφαιρικά και να βρούμε σε ποιο σημείο γίνεται αν γίνεται το λάθος στο βιβλίο.
Η σχέση $\displaystyle{{f^2}\left( x \right) = \frac{1}{{\sigma \upsilon {\nu ^2}x}} \Leftrightarrow \left| {f\left( x \right)} \right| = \frac{1}{{\left| {\sigma \upsilon \nu x} \right|}} \Leftrightarrow f\left( x \right) = \pm \frac{1}{{\sigma \upsilon \nu x}}}$ δεν είναι λάθος, αλλά δεν δηλώνει σχεδόν τίποτα ( δηλαδή δεν μπορούμε να ισχυριστούμε ότι βρήκαμε την συνάρτηση

). Τώρα αν γνωρίζουμε για την συνάρτηση

,το πεδίο ορισμού της , αν είναι συνεχής και που ή κάποια σχέση που ικανοποίει τα πράγματα αλλάζουν .

Α.Κυριακόπουλος · #8

Αγαπητοί συνάδελφοι Νίκο και Κώστα, ίσως δεν προσέξατε τι λέει ο Μάκης. Ο Μάκης λέει: «…μετά παίρνει μία συνάρτηση από αυτές …»( και προχωρεί)!!!

#9

Αντώνη δεν καταλαβαίνω που διαφωνείς;;

Ο Μάκης ρωτάει

Μάκης Χατζόπουλος έγραψε: Το είδα σε εξωσχολικό βιβλίο της Γ΄ Λυκείου Κατεύθυνσης... Γράφει

$\displaystyle{{f^2}\left( x \right) = \frac{1}{{\sigma \upsilon {\nu ^2}x}} \Leftrightarrow \left| {f\left( x \right)} \right| = \frac{1}{{\left| {\sigma \upsilon \nu x} \right|}} \Leftrightarrow f\left( x \right) = \pm \frac{1}{{\sigma \upsilon \nu x}}}$

Είναι σωστό ; Αναφέρομαι στην τελευταία σχέση (με ενοχλεί το συν / πλην)...
είναι σωστή

η απάντηση είναι, ναι είναι σωστή δεν μας ενοχλεί το συν / πλην.
Βέβαια τονίζω και πάλι, δεν βρήκαμε τίποτα (δηλαδή την συνάρτηση

) όμως δεν είναι σωστό, να λέμε ότι όποιος γράψει $f\left( x \right)=\pm \frac{1}{\sigma \upsilon \nu x}$
υποστηρίζει ότι βρήκε την συνάρτηση.

Όπως δεν είναι ωραίο να μένει η εντύπωση ότι η σχέση $\displaystyle{{f^2}\left( x \right) = \frac{1}{{\sigma \upsilon {\nu ^2}x}} \Leftrightarrow \left| {f\left( x \right)} \right| = \frac{1}{{\left| {\sigma \upsilon \nu x} \right|}} \Leftrightarrow f\left( x \right) = \pm \frac{1}{{\sigma \upsilon \nu x}}}$
είναι λανθασμένη .
Απλά δεν βρήκε την συνάρτηση

.
Μετά αναφέρει

Μάκης Χατζόπουλος έγραψε:

Φυσικά δεν αναφέρει πεδίο ορισμού, αλλά κινείται αλγεβρικά... μετά παίρνει μία συνάρτηση από αυτές (αφού το ζητάει η άσκηση). Είναι στο κεφάλαιο σύνθεση συναρτήσεων (ανάλογη της άσκησης Β6iii παράγραφος 1.2 / σχ. βιβλίου)]

Αν στη λύση δεν αναφέρει κάτι άλλο προφανώς και είναι λάθος, αλλά σε αυτό δεν διαφώνησα ποτέ !!.

Γενικά αν δεν έχουμε την εκφώνηση δεν μου αρέσει να βγάζω συμπεράσματα!!

Μάκης Χατζόπουλος · #10

Νομίζω ότι δεν ήμουν ακριβής και έχετε δίκιο να έχετε ενστάσεις. Έτσι όπως το εμφανίζω δεν είναι σίγουρο ότι είναι σωστό ή λάθος. Έπραξα ως κακός δημοσιογράφος που φωτίζει την μία μεριά της υπόθεσης, οπότε Νίκο και Κώστα έχετε δίκιο να μην παίρνετε θέση με τα δεδομένα που έδωσα, για να ξεκαθαρίσω το θέμα αντιγράφω επί λέξη την άσκηση.

Σας παρακαλώ να μην μείνουμε σε ποιο βιβλίο βρίσκεται, αλλά στην ουσία, κατ' εμένα, που θέτω το ερώτημα, είναι κατά πόσο είναι σωστή η έκφραση που χρησιμοποιεί ο συγγραφέας. Είχα πολλές διαφωνίες με αξιόλογους μαθηματικούς ως προς την ορθότητα της λύσης.

Αν Αχιλλέα έχει ξανασυζητηθεί κάτι ανάλογο και σου είναι εύκολο να το βρεις θα σου ήμουν ευγνώμων να μου το υποδείξεις. Αντώνη σωστά έτσι το αντιμετωπίζει, ως αριθμό, έπραξε αλγεβρικά... Κώστα με προβληματίζει η θέση σου....

Όχι δεν αναφέρει αν είναι συνεχής Σωτήρη (και Κώστα) και για να γίνω πιο σαφής την καταγράφω ολοκληρωμένα (αν και πολύ φοβάμαι ότι θα μείνουμε και σε άλλα σημεία εκτός από αυτό που ανέφερα και θα χάσουμε το "δέντρο").

Εκφώνηση
Να βρείτε μία τουλάχιστον συνάρτηση

, για την οποία ισχύει:

$\displaystyle{\left( {gof} \right)\left( x \right) = \left| {\varepsilon \varphi x} \right|}$ , αν $\displaystyle{g\left( x \right) = \sqrt {{x^2} - 1} }$

Απάντηση
Έχουμε,

$\displaystyle{\begin{array}{l} g\left( {f\left( x \right)} \right) = \left| {\varepsilon \varphi x} \right| \Leftrightarrow \sqrt {{f^2}\left( x \right) - 1} = \left| {\varepsilon \varphi x} \right| \Leftrightarrow {f^2}\left( x \right) - 1 = \varepsilon {\varphi ^2}x\\ \\ \Leftrightarrow {f^2}\left( x \right) = 1 + \varepsilon {\varphi ^2}x \Leftrightarrow {f^2}\left( x \right) = \frac{1}{{\sigma \upsilon {\nu ^2}x}}\\ \\ \Leftrightarrow \left| {f\left( x \right)} \right| = \frac{1}{{\left| {\sigma \upsilon \nu x} \right|}} \Leftrightarrow f\left( x \right) = \pm \frac{1}{{\sigma \upsilon \nu x}}\,\,\,\,\left( 1 \right) \end{array}}$

Μια τέτοια συνάρτηση είναι π.χ. η συνάρτηση $\displaystyle{f\left( x \right) = - \frac{1}{{\sigma \upsilon \nu x}}}$

Παρατήρηση

Από τη σχέση (1)

δεν έχουμε ως συμπέρασμα ότι οι μόνες συναρτήσεις που ικανοποιούν τις προϋποθέσεις του προβλήματος είναι $\displaystyle{\frac{1}{{\sigma \upsilon \nu x}}}$ και $\displaystyle{ - \frac{1}{{\sigma \upsilon \nu x}}}$

Το συμπέρασμα είναι ότι οι τιμές της συνάρτησης δίνονται από αυτούς τους τύπους.

Το πλήθος των συναρτήσεων είναι άπειρο.

π.χ. Αν θεωρήσουμε την οικογένεια των συναρτήσεων:

$\displaystyle{{f_\lambda }\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{1}{{\sigma \upsilon \nu x}}}&{}&{,x < \lambda \,\,\kappa \alpha \iota \,\,x \in {R_1}}\\ {}&{}&{}\\ { - \frac{1}{{\sigma \upsilon \nu x}}}&{}&{,x \ge \lambda \,\,\kappa \alpha \iota \,\,x \in {R_1}} \end{array}} \right.}$

τότε οι $\displaystyle{{f_\lambda }}$ ικανοποιούν τις προϋποθέσεις και επειδή, το πλήθος των τιμών του $\displaystyle{\lambda }$ είναι άπειρο και οι συναρτήσεις θα είναι άπειρες.

#11

Μάκης Χατζόπουλος έγραψε:Νομίζω ότι δεν ήμουν ακριβής και έχετε δίκιο να έχετε ενστάσεις. Έτσι όπως το εμφανίζω δεν είναι σίγουρο ότι είναι σωστό ή λάθος. Έπραξα ως κακός δημοσιογράφος που φωτίζει την μία μεριά της υπόθεσης, οπότε Νίκο και Κώστα έχετε δίκιο να μην παίρνετε θέση με τα δεδομένα που έδωσα, για να ξεκαθαρίσω το θέμα αντιγράφω επί λέξη την άσκηση.

Σας παρακαλώ να μην μείνουμε σε ποιο βιβλίο βρίσκεται, αλλά στην ουσία, κατ' εμένα, που θέτω το ερώτημα, είναι κατά πόσο είναι σωστή η έκφραση που χρησιμοποιεί ο συγγραφέας. Είχα πολλές διαφωνίες με αξιόλογους μαθηματικούς ως προς την ορθότητα της λύσης.

Αν Αχιλλέα έχει ξανασυζητηθεί κάτι ανάλογο και σου είναι εύκολο να το βρεις θα σου ήμουν ευγνώμων να μου το υποδείξεις. Αντώνη σωστά έτσι το αντιμετωπίζει, ως αριθμό, έπραξε αλγεβρικά... Κώστα με προβληματίζει η θέση σου....

Όχι δεν αναφέρει αν είναι συνεχής Σωτήρη (και Κώστα) και για να γίνω πιο σαφής την καταγράφω ολοκληρωμένα (αν και πολύ φοβάμαι ότι θα μείνουμε και σε άλλα σημεία εκτός από αυτό που ανέφερα και θα χάσουμε το "δέντρο").

Εκφώνηση
Να βρείτε μία τουλάχιστον συνάρτηση , για την οποία ισχύει:

$\displaystyle{\left( {gof} \right)\left( x \right) = \left| {\varepsilon \varphi x} \right|}$ , αν $\displaystyle{g\left( x \right) = \sqrt {{x^2} - 1} }$

Απάντηση
Έχουμε,

$\displaystyle{\begin{array}{l} g\left( {f\left( x \right)} \right) = \left| {\varepsilon \varphi x} \right| \Leftrightarrow \sqrt {{f^2}\left( x \right) - 1} = \left| {\varepsilon \varphi x} \right| \Leftrightarrow {f^2}\left( x \right) - 1 = \varepsilon {\varphi ^2}x\\ \\ \Leftrightarrow {f^2}\left( x \right) = 1 + \varepsilon {\varphi ^2}x \Leftrightarrow {f^2}\left( x \right) = \frac{1}{{\sigma \upsilon {\nu ^2}x}}\\ \\ \Leftrightarrow \left| {f\left( x \right)} \right| = \frac{1}{{\left| {\sigma \upsilon \nu x} \right|}} \Leftrightarrow f\left( x \right) = \pm \frac{1}{{\sigma \upsilon \nu x}}\,\,\,\,\left( 1 \right) \end{array}}$

Μια τέτοια συνάρτηση είναι π.χ. η συνάρτηση $\displaystyle{f\left( x \right) = - \frac{1}{{\sigma \upsilon \nu x}}}$

Παρατήρηση

Από τη σχέση δεν έχουμε ως συμπέρασμα ότι οι μόνες συναρτήσεις που ικανοποιούν τις προϋποθέσεις του προβλήματος είναι $\displaystyle{\frac{1}{{\sigma \upsilon \nu x}}}$ και $\displaystyle{ - \frac{1}{{\sigma \upsilon \nu x}}}$

Το συμπέρασμα είναι ότι οι τιμές της συνάρτησης δίνονται από αυτούς τους τύπους.

Το πλήθος των συναρτήσεων είναι άπειρο.

π.χ. Αν θεωρήσουμε την οικογένεια των συναρτήσεων:

$\displaystyle{{f_\lambda }\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{1}{{\sigma \upsilon \nu x}}}&{}&{,x < \lambda \,\,\kappa \alpha \iota \,\,x \in {R_1}}\\ {}&{}&{}\\ { - \frac{1}{{\sigma \upsilon \nu x}}}&{}&{,x \ge \lambda \,\,\kappa \alpha \iota \,\,x \in {R_1}} \end{array}} \right.}$

τότε οι $\displaystyle{{f_\lambda }}$ ικανοποιούν τις προϋποθέσεις και επειδή, το πλήθος των τιμών του $\displaystyle{\lambda }$ είναι άπειρο και οι συναρτήσεις θα είναι άπειρες.

Μάκη είναι ολόσωστη !!!!

#12

Μάκης Χατζόπουλος έγραψε:Ν...

Αν Αχιλλέα έχει ξανασυζητηθεί κάτι ανάλογο και σου είναι εύκολο να το βρεις θα σου ήμουν ευγνώμων να μου το υποδείξεις.

...

Αυτή που μου έρχεται στο μυαλό είναι η συζήτηση στο viewtopic.php?f=46&t=7228

Γι'αυτό, λέει ο Νίκος πάνω ότι θέλει να δει τα συμφραζόμενα. Μια απόλυτα σωστή λύση, όπως του Αλέξανδρου στο παραπάνω θέμα, αν γραφεί διαφορετικά, μπορεί να έχει ελλείψεις, και σε πανελλαδικές εξετάσεις να προκαλέσει πρόβλημα.

Μετά τη διατύπωση του προβλήματος του βιβλίου και της δημοσιευθείσας λύσης, το ζήτημα θέτετε σε κάπως διαφορετική βάση, αλλά

και πάλι η λύση δεν είναι καλογραμμένη, και δικαιολογημένα μπορεί να χαρακτηρισθεί ελλειπής. Το

τι είναι? Δοθέν εξ αρχής?

Επίσης, θα πρέπει η εκφώνηση να λέει για ποια

εργάζεται? Σε όλο το πεδίο ορισμού της $\tan x$ ?

Κι αν θέλαμε να είμαστε και πιο ακριβείς θα πρέπει να επισημάνουμε ότι η σύνθεση, για τη συνάρτηση που βρήκαμε έχει νόημα κτλ

Τέλος πάντων...

Καλό βράδυ!

Αχιλλέας

parmenides51 · #13

μερικές παραπομπές:
$\displaystyle{{f^2}(x) + 6x = {x^2} + 9}$
$\displaystyle{{f^2}(x) = 7f(x) - 10}$
$\displaystyle{f^2(x)-5f(x)+6=0}$
$\displaystyle{f^2(x)=(e^x+1)^2}$
$\displaystyle{f^2(x)=(e^x-1)^2}$

και μερικά φυλλάδια
μέθοδοι απόδειξης κι εύρεσης στα μαθηματικά του Αντώνη Κυριακόπουλου
η χαρά της γενίκευσης. ΙII (με προσθήκη) του Νίκου Μαυρογιάννη
εύρεση συνάρτησης του Μπάμπη Στεργίου

Μάκης Χατζόπουλος · #14

Μου ξενίζουν πολλά,

1. Δίνεται ο τύπος της σύνθεσης χωρίς να δίνεται το πεδίο ορισμού της, θα μπορούσε να μην ήταν αυτό που "βλέπουμε", αλλά ένα υποσύνολό του ...

2. Ζητείται μία συνάρτηση

, θα μπορούσε (χωρίς φυσικά να είναι κακό έτσι όπως το θέτει), να δίνει το πεδίο ορισμού της συνάρτησης που ζητείται, αφού καταλήγουμε σε άπειρο πλήθος συναρτήσεων (με ανάλογο τρόπο έχει κινηθεί το βιβλίο, με αποτέλεσμα στην άσκηση 6/σελ. 148 να υπάρχουν άπειρες συναρτήσεις που ικανοποιούν το πρόβλημα)

3. Αρχίζουμε να γράφουμε αλγεβρικές πράξεις για την σύνθεση χωρίς να έχουμε πει αρχικά που ανήκει το

4. Καταλήγουμε στην σχέση $\displaystyle{f\left( x \right) = \pm \frac{1}{{\sigma \upsilon \nu x}}}$ και με ενοχλεί ότι με αυτή την γραφή φαίνεται ότι ένα συγκεκριμένο

αντιστοιχεί σε δύο διαφορετικά

, βάλτε για παράδειγμα το x=0

, μας δίνει αποτέλεσμα $\displaystyle{f\left( 0 \right) = \pm 1}$

5. Τέλος όταν διαλέγουμε μία τέτοια συνάρτηση

δεν αναφέρουμε τίποτα για το πεδίο ορισμού της.

Πάντως ο αρχικός μου προβληματισμός ήταν κατά πόσο είναι ορθός ο συμβολισμός $\displaystyle{f\left( x \right) = \pm \frac{1}{{\sigma \upsilon \nu x}}}$ , δεν υπάρχει αυτό μέσα στο σχολικό βιβλίο και κατά την γνώμη μου δεν πρέπει να χρησιμοποιείται. Δεν μεταφράζεται $\displaystyle{f\left( x \right) = \frac{1}{{\sigma \upsilon \nu x}}\,\,\eta '\,\, - \frac{1}{{\sigma \upsilon \nu x}}}$ αλλά ως δίκλαδη, που για διάφορες τιμές του

ισχύει ο ένας τύπος και για άλλες τιμές του

ισχύει ο άλλος τύπος. Διαφέρει από τον συμβολισμό $\displaystyle{x = \pm 1}$ .

#15

Μάκη συμφωνώ με τον Κώστα: Βρίσκω ότι η πραγμάτευση του συγκεκριμένου βιβλίου δεν έχει αδυναμίες.
Το ενάντιο θα έλεγα: Φωτίζει αρκετές πλευρές εξηγώντας ότι το διπλό σημείο δεν οδηγεί κατ΄ανάγκην σε δύο μόνο συναρτήσεις αλλά σε άπειρες. Ας σημειωθεί ότι ο συμβολισμός $\pm$ είναι απολύτως δίκιμος αφού χρησιμοποιείται λ.χ. στο βιβλίο της Α΄Λυκείου.

Α.Κυριακόπουλος · #16

Μάκης Χατζόπουλος έγραψε: Εκφώνηση
Να βρείτε μία τουλάχιστον συνάρτηση , για την οποία ισχύει:
$\displaystyle{\left( {gof} \right)\left( x \right) = \left| {\varepsilon \varphi x} \right|}$ , αν $\displaystyle{g\left( x \right) = \sqrt {{x^2} - 1} }$
Απάντηση
Έχουμε,
$\displaystyle{\begin{array}{l} g\left( {f\left( x \right)} \right) = \left| {\varepsilon \varphi x} \right| \Leftrightarrow \sqrt {{f^2}\left( x \right) - 1} = \left| {\varepsilon \varphi x} \right| \Leftrightarrow {f^2}\left( x \right) - 1 = \varepsilon {\varphi ^2}x\\ \\ \Leftrightarrow {f^2}\left( x \right) = 1 + \varepsilon {\varphi ^2}x \Leftrightarrow {f^2}\left( x \right) = \frac{1}{{\sigma \upsilon {\nu ^2}x}}\\ \\ \Leftrightarrow \left| {f\left( x \right)} \right| = \frac{1}{{\left| {\sigma \upsilon \nu x} \right|}} \Leftrightarrow f\left( x \right) = \pm \frac{1}{{\sigma \upsilon \nu x}}\,\,\,\,\left( 1 \right) \end{array}}$

Μια τέτοια συνάρτηση είναι π.χ. η συνάρτηση $\displaystyle{f\left( x \right) = - \frac{1}{{\sigma \upsilon \nu x}}}$

Στη λύση αυτή όλα είναι στον αέρα. Τέτοιες λύσεις «θολώνουν τα νερά για να φαίνονται βαθιά». Από κάτι τέτοια έχει δημιουργηθεί η εντύπωση ότι τα μαθηματικά είναι ακαταλαβίστικα.

Μάκης Χατζόπουλος · #17

nsmavrogiannis έγραψε:...Ας σημειωθεί ότι ο συμβολισμός $\pm$ είναι απολύτως δόκιμος αφού χρησιμοποιείται λ.χ. στο βιβλίο της Α΄Λυκείου.

Νίκο θα μου υποδείξεις τα σημεία αυτά;

Αν χρησιμοποιείται τότε τον υιοθετώ και θα τον χρησιμοποιώ, αφού για όλους είναι (ή θα είναι) ξεκάθαρο τι λέει, απλά επιθυμώ να το δω γραμμένο σε κάποιο σχολικό βιβλίο ή έστω σε κάποιο έγκριτο μαθηματικό βιβλίο. Είμαι σίγουρος ότι θα πάρω πολλές παραπομπές και θα σωπάσω μια και καλή με αυτό το θέμα.

Ευχαριστώ

#18

Μάκης Χατζόπουλος έγραψε:
nsmavrogiannis έγραψε:...Ας σημειωθεί ότι ο συμβολισμός $\pm$ είναι απολύτως δόκιμος αφού χρησιμοποιείται λ.χ. στο βιβλίο της Α΄Λυκείου.
Νίκο θα μου υποδείξεις τα σημεία αυτά;

Αν χρησιμοποιείται τότε τον υιοθετώ και θα τον χρησιμοποιώ, αφού για όλους είναι (ή θα είναι) ξεκάθαρο τι λέει, απλά επιθυμώ να το δω γραμμένο σε κάποιο σχολικό βιβλίο ή έστω σε κάποιο έγκριτο μαθηματικό βιβλίο. Είμαι σίγουρος ότι θα πάρω πολλές παραπομπές και θα σωπάσω μια και καλή με αυτό το θέμα.

Ευχαριστώ

Μάκη ενδεικτικά:
Σχολικό βιβλίο Άλγεβρας Α΄Λυκείου σελίδα 89 (στην έκδοση του 2011)
Σχολικό βιβλίο Κατεύθυνσης Γ΄Λυκείου σελίδα 179 (στην έκδοση του 2005)

Α.Κυριακόπουλος · #19

Μάκη, μερικές φορές, για συντομία, γράφουμε: $x = \pm 2$ ( διαβάζουμε:

ίσον συν ή πλην

) και εννοούμε: ( x=2

ή

). Αλλά δεν είναι εκεί το θέμα στην άσκηση που συζητάμε. Τα υπόλοιπα είναι στον αέρα.

Είναι σωστό;

Είναι σωστό;

Re: Είναι σωστό;

Re: Είναι σωστό;

Re: Είναι σωστό;

Re: Είναι σωστό;

Re: Είναι σωστό;

Re: Είναι σωστό;

Re: Είναι σωστό;

Re: Είναι σωστό;

Re: Είναι σωστό;

Re: Είναι σωστό;

Re: Είναι σωστό;

Re: Είναι σωστό;

Re: Είναι σωστό;

Re: Είναι σωστό;

Re: Είναι σωστό;

Re: Είναι σωστό;

Re: Είναι σωστό;

Re: Είναι σωστό;

Μέλη σε σύνδεση