Ισχυρός Bolzano;;;

#1

Αυτό που ουσιαστικά ζητούσε ο socrates στις 23-7-22, όπως έμμεσα υποδεικνύεται εδώ, είναι το εξής:

Αν η

είναι τρεις (ή και περισσότερες) φορές παραγωγίσιμη στο (a,b)

και ισχύει η $f(a)\cdot f(b)<0$ , υπάρχει σημείο

στο

και $\epsilon >0$ έτσι ώστε f(c)=0

ΚΑΙ είτε

για $c-\epsilon <x<c$ και f(x)<0

για $c<x<c+\epsilon$ είτε f(x)<0

για $c-\epsilon <x<c$ και f(x)>0

για $c<x<c+\epsilon$ ;;;

[Αναζητούμε δηλαδή συνθήκες παραγωγισιμότητος αποκλείουσες τον 'κυματισμό' -- ακριβέστερα τον 'άπειρο μηδενισμό' -- γύρω από το σημείο μηδενισμού

. (Δεν έχω απάντηση, απλώς ίσως κάποιες σκέψεις που θα εκθέσω αργότερα, αν δεν υπάρξουν πληρέστερες απαντήσεις.)]

#2

Όχι Γιώργο δεν ισχύει αυτό ακόμη και αν ζητήσουμε η

να είναι άπειρες φορές παραγωγίσιμη.

Για c < d

ορίζω τη συνάρτηση $\displaystyle f_{c,d}(x) = \begin{cases} \exp\left(\frac{1}{(x-c)(x-d)} \right) & c < x < d \\ 0 & x \in (-\infty,c]\cup[d,\infty) \end{cases}$

Μπορεί να αποδειχθεί ότι η

είναι άπειρες φορές παραγωγίσιμη.

Αν τώρα κολλήσουμε τις $f_{1/2,1},f_{1/3,1/2},\ldots$ και τις $-f_{-1,-1/2},-f_{-1/2,-1/3},\ldots$ τότε θα πάρουμε μια συνάρτηση που είναι αντιπαράδειγμα στο ζητούμενο.

Ισχυρός Bolzano;;;

Ισχυρός Bolzano;;;

Re: Ισχυρός Bolzano;;;

Μέλη σε σύνδεση