Παράγουσα

Μάρκος Βασίλης · #1

Έστω $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ μία συνεχής συνάρτηση τέτοια ώστε $f(x)\geq0$ για κάθε $x\in\mathbb{R}$ και για την οποία τουλάχιστον ένα εκ των:

$\displaystyle \int_0^{+\infty} f(t)dt,\ \int_{-\infty}^0f(t)dt$

υπάρχει και είναι πεπερασμένο. Να δείξετε ότι υπάρχει παράγουσα της

που δεν είναι της μορφής $\displaystyle \int_a^xf(t)dt$ .

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Μάρκος Βασίλης έγραψε: ↑
Πέμ Οκτ 03, 2019 1:31 pm
Έστω $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ μία ολοκληρώσιμη συνάρτηση τέτοια ώστε $f(x)\geq0$ για κάθε $x\in\mathbb{R}$ και για την οποία τουλάχιστον ένα εκ των:

$\displaystyle \int_0^{+\infty} f(t)dt,\ \int_{-\infty}^0f(t)dt$

υπάρχει και είναι πεπερασμένο. Να δείξετε ότι υπάρχει παράγουσα της που δεν είναι της μορφής $\displaystyle \int_a^xf(t)dt$ .

Υπάρχουν αρκετά θέματα σε σχέση με την εκφώνηση.

1)Τι σημαίνει για μια $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ ότι είναι ολοκληρώσιμη συνάρτηση;
Το επισημαίνω γιατί παρακάτω αναφέρεται ότι
τουλάχιστον ένα εκ των:

$\displaystyle \int_0^{+\infty} f(t)dt,\ \int_{-\infty}^0f(t)dt$

υπάρχει και είναι πεπερασμένο.

2)Με τις προυποθέσεις που ισχύουν για την

μπορεί να μην υπάρχει καμία παράγουσα της

Μάρκος Βασίλης · #3

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Πέμ Οκτ 03, 2019 9:53 pm

Μάρκος Βασίλης έγραψε: ↑
Πέμ Οκτ 03, 2019 1:31 pm
Έστω $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ μία ολοκληρώσιμη συνάρτηση τέτοια ώστε $f(x)\geq0$ για κάθε $x\in\mathbb{R}$ και για την οποία τουλάχιστον ένα εκ των:

$\displaystyle \int_0^{+\infty} f(t)dt,\ \int_{-\infty}^0f(t)dt$

υπάρχει και είναι πεπερασμένο. Να δείξετε ότι υπάρχει παράγουσα της που δεν είναι της μορφής $\displaystyle \int_a^xf(t)dt$ .
Υπάρχουν αρκετά θέματα σε σχέση με την εκφώνηση.

1)Τι σημαίνει για μια $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ ότι είναι ολοκληρώσιμη συνάρτηση;
Το επισημαίνω γιατί παρακάτω αναφέρεται ότι
τουλάχιστον ένα εκ των:

$\displaystyle \int_0^{+\infty} f(t)dt,\ \int_{-\infty}^0f(t)dt$

υπάρχει και είναι πεπερασμένο.

2)Με τις προυποθέσεις που ισχύουν για την
μπορεί να μην υπάρχει καμία παράγουσα της

Έχετε δίκιο, είναι πλημμελώς γραμμένη η εκφώνηση. Την τροποποίησα κατάλληλα. Ευχαριστώ!

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Μάρκος Βασίλης έγραψε: ↑
Πέμ Οκτ 03, 2019 1:31 pm
Έστω $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ μία συνεχής συνάρτηση τέτοια ώστε $f(x)\geq0$ για κάθε $x\in\mathbb{R}$ και για την οποία τουλάχιστον ένα εκ των:

$\displaystyle \int_0^{+\infty} f(t)dt,\ \int_{-\infty}^0f(t)dt$

υπάρχει και είναι πεπερασμένο. Να δείξετε ότι υπάρχει παράγουσα της που δεν είναι της μορφής $\displaystyle \int_a^xf(t)dt$ .

Ολες οι παράγουσες της

έχουν την μορφή

$\displaystyle F(x)=c+\int_0^{x} f(t)dt,$

Ας υποθέσουμε ότι είναι
$\displaystyle \ \int_{-\infty}^0f(t)dt=A\in \mathbb{R}$

Εστω
$\displaystyle F(x)=c+\int_0^{x} f(t)dt=\int_{a}^{x}f(t)dt$

τότε
$\displaystyle c=\int_{a}^{0}f(t)dt$ (1)

Επειδή $A\geq 0$

αν πάρουμε c=A+11

η (1) δεν μπορεί να ισχύει για κανένα

Όμοια αντιμετοπίζεται και η άλλη περίπτωση.

Παράγουσα

Παράγουσα

Re: Παράγουσα

Re: Παράγουσα

Re: Παράγουσα

Μέλη σε σύνδεση