Δείξτε ότι f=g

M.S.Vovos · #1

Έστω οι συναρτήσεις $f,g:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}$ συνεχείς συναρτήσεις με f(0)=g(0)

. Υποθέτουμε ότι η

είναι παραγωγίσιμη στο (0,1)

και:

$\displaystyle g'(x)+2g(x)\leq f'(x)+2g(x)\leq 2f(x)+g'(x)$ , για κάθε $x\in (0,1)$ .

Δείξτε ότι f(x)=g(x)

, για κάθε $x\in [0,1]$ .

#2

M.S.Vovos έγραψε:Έστω οι συναρτήσεις $f,g:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}$ συνεχείς συναρτήσεις με . Υποθέτουμε ότι η είναι παραγωγίσιμη στο και:

$\displaystyle g'(x)+2g(x)\leq f'(x)+2g(x)\leq 2f(x)+g'(x)$ , για κάθε $x\in (0,1)$ .

Δείξτε ότι , για κάθε $x\in [0,1]$ .

Θέτοντας

οι συνθήκες γράφονται $h(0)=0, \, 0\le h'(x)\le 2h(x) \,(*)$ . Η τελευταία ισοδυναμεί με την $(e^{-2x}h(x))' \le 0$ που με ολοκλήρωση από

έως $t\in [0,1]$ δίνει $h(t)e^{-2t}\le 0$ και άρα $h(t)\le 0$ .

Σε συνδυασμό με την (*)

έχουμε $0\le 2h(x)\le 0$ , οπότε h=0

, και λοιπά.

Δείξτε ότι f=g

Δείξτε ότι f=g

Re: Δείξτε ότι f=g

Μέλη σε σύνδεση