Εύρεση υπολοίπου

#1

Γνωστό αλλά νομίζω ότι έχει ενδιαφέρον για συζήτηση στην τάξη. Δεν θυμάμαι αν το έχουμε συζητήσει.

Δίνονται οι διακεκριμένοι αριθμοί αριθμοί a_1

,

, ...,

και οι αριθμοί v_1

,

,...,

. Ένα πολυώνυμο P(x)

διαιρούμενο με τα
$x-a_{1}$ , $x-a_{2}$ , ..., $x-a_{n}$ αφήνει υπόλοιπα v_1

,

,...,

. Να βρεθεί το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x)

δια του $(x-a_{1})(x-a_{2})\cdot ...\cdot (x-a_{n})$ .

#2

nsmavrogiannis έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 30, 2022 9:53 pm
Γνωστό αλλά νομίζω ότι έχει ενδιαφέρον για συζήτηση στην τάξη. Δεν θυμάμαι αν το έχουμε συζητήσει.

Δίνονται οι διακεκριμένοι αριθμοί αριθμοί , , ..., και οι αριθμοί , ,...,. Ένα πολυώνυμο διαιρούμενο με τα
$x-a_{1}$ , $x-a_{2}$ , ..., $x-a_{n}$ αφήνει υπόλοιπα , ,...,. Να βρεθεί το υπόλοιπο της διαίρεσης του δια του $(x-a_{1})(x-a_{2})\cdot ...\cdot (x-a_{n})$ .

Ενδιαφέρον. Δεν θυμάμαι να το έχω ξαναδεί.

Από την υπόθεση έχουμε (απλό και γνωστό) $P(a_k) = v_k,\, 1\le k \le n.$

Η διαίρεση του P(x)

δια του $(x-a_{1})(x-a_{2})\cdot ...\cdot (x-a_{n})$ δίνει σχέση της μορφής

$P(x)= (x-a_{1})(x-a_{2})\cdot ...\cdot (x-a_{n})Q(x) + R(x)$ όπου το

είναι ένα και μοναδικό πολυώνυμο βαθμού το πολύ n-1

.

Θέτοντας $x=a_k,\, 1\le k \le n$ παίρνουμε P(a_k) = 0+ R(a_k)

, δηλαδή $R(a_k)=v_k,\, 1\le k \le n$ .

Οπότε το

μπορούμε να το βρούμε ως πολυώνυμο παρεμβολής Lagrange. Είναι το άθροισμα των πολυωνύμων $\displaystyle{v_k \prod _{m\ne k} \dfrac {x-a_m} {a_k-a_m}}$ για $1\le k\le n$ .

#3

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 30, 2022 10:16 pm

nsmavrogiannis έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 30, 2022 9:53 pm
Γνωστό αλλά νομίζω ότι έχει ενδιαφέρον για συζήτηση στην τάξη. Δεν θυμάμαι αν το έχουμε συζητήσει.

Δίνονται οι διακεκριμένοι αριθμοί αριθμοί , , ..., και οι αριθμοί , ,...,. Ένα πολυώνυμο διαιρούμενο με τα
$x-a_{1}$ , $x-a_{2}$ , ..., $x-a_{n}$ αφήνει υπόλοιπα , ,...,. Να βρεθεί το υπόλοιπο της διαίρεσης του δια του $(x-a_{1})(x-a_{2})\cdot ...\cdot (x-a_{n})$ .
Ενδιαφέρον. Δεν θυμάμαι να το έχω ξαναδεί.

Από την υπόθεση έχουμε (απλό και γνωστό) $P(a_k) = v_k,\, 1\le k \le n.$

Η διαίρεση του δια του $(x-a_{1})(x-a_{2})\cdot ...\cdot (x-a_{n})$ δίνει σχέση της μορφής

$P(x)= (x-a_{1})(x-a_{2})\cdot ...\cdot (x-a_{n})Q(x) + R(x)$ όπου το είναι ένα και μοναδικό πολυώνυμο βαθμού το πολύ .

Θέτοντας $x=a_k,\, 1\le k \le n$ παίρνουμε , δηλαδή $R(a_k)=v_k,\, 1\le k \le n$ .

Οπότε το μπορούμε να το βρούμε ως πολυώνυμο παρεμβολής Lagrange. Είναι το άθροισμα των πολυωνύμων $\displaystyle{v_k \prod _{m\ne k} \dfrac {x-a_m} {a_k-a_m}}$ για $1\le k\le n$ .

Γεια σας
Μιχάλη σε ευχαριστώ για την απάντηση. Αυτήν ακριβώς είχα κατά νου.
Γράφω δυο λόγια για τους λόγους που ανέβασα το θέμα.
Το θέμα για n=1

είναι θεωρία του σχολικού. Για n=2

είναι βασική άσκηση που την έχουν πολλά βιβλία. Για n>2

τα πράγματα δυσκολεύουν διότι το σύστημα που οδηγεί στην εύρεση του πολυωνύμου

έχει τις δυσκολίες του. Αν οι μαθητές έχουν θεωρία οριζουσών στην διάθεση τους (πιθανόν με τα νέα προγράμματα να έχουν) η ενασχόληση στην τάξη με αυτό το σύστημα έχει ενδιαφέρον αφού η ορίζουσα του είναι η Vandermonde.
Ωστόσο η λύση που γράφεις με την παρεβολή Lagrange είναι η βέλτιστη διότι δεν έχει πράξεις και με λίγη προσπάθεια μπορούν να οδηγηθούν οι μαθητές σε αυτήν.
Επιπλέον παρέχει και μια γενική μέθοδο εύρεσης πολυωνυμικής συνάρτησης που η γραφική της παράσταση διέρχεται από

σημεία πράγμα ιδιαίτερα χρήσιμο αν διδάσκουμε προσεγγίσεις κάτι που φαντάζομαι ότι θα υπάρχει στα νέα προγράμματα. Εκτός από τα σχετικά λογισμικά έχουμε στην διάθεση μας και πολλούς υπολογιστές στο διαδίκτυο (ενδεικτικά https://www.dcode.fr/lagrange-interpolating-polynomial )

Εύρεση υπολοίπου

Εύρεση υπολοίπου

Re: Εύρεση υπολοίπου

Re: Εύρεση υπολοίπου

Μέλη σε σύνδεση